Edo De Orden Superior

CAPÍTULO

4
Ecuaciones diferenciales de orden superior

4.2 Reducción de orden
Hallar un método para encontrar soluciones que formen un conjunto fundamental de la ED será nuestro trabajo en las siguientes secciones.

4.2.1

Reducción de orden en ED lineales de segundo orden

Consideremos la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden: a2 .x/y 00 C a1 .x/y 0 C a0 .x/y D 0;de la cual se conoce una solución que llamaremos y1 . De acuerdo con lo visto en la sección anterior, requerimos una segunda solución y2 de la ecuación diferencial de tal manera que el conjunto f y1 ; y2 g constituya un conjunto fundamental de soluciones. A fin de encontrar esta segunda solución, aplicaremos un método llamado variación de parámetros que se debe a D’Alembert. La idea fundamental esla siguiente: debido a que la ecuación es lineal, y dado que y1 es solución, entonces ay1 para a constante, también es solución. La pregunta que se formula en este método es ¿cómo encontrar una función u, de tal manera que y2 D uy1 también sea solución de la ecuación? Para el desarrollo de la idea de D’Alembert, requerimos, en primer lugar, normalizar la ecuación; esto es, necesitamos que elcoeficiente de y 00 sea 1. Para ello, dividimos la ecuación entre a2 .x/: y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D 0, donde p.x/ D a1 .x/ a0 .x/ y donde q.x/ D , con a2 .x/ ¤ 0: a2 .x/ a2 .x/

Queremos ahora determinar bajo qué condiciones podemos asegurar que y2 D uy1 es solución. Constatamos que, por ser y1 solución de la ED, tenemos:
00 0 y1 C py1 C qy1 D 0:

1. canek.azc.uam.mx: 23/ 9/ 2010

1

2 Siderivamos y2 dos veces, hallamos: y2 D uy1 : 0 0 y2 D uy1 C u 0 y1 : 00 00 0 y2 D uy1 C 2u 0 y1 C u 00 y1 :
00 0 Sustituyendo en la ED y2 C py2 C qy2 D 0, obtenemos:

Ecuaciones diferenciales ordinarias

00 0 0 uy1 C 2u 0 y1 C u 00 y1 C puy1 C pu 0 y1 C qy1 u D 0:
00 y2 0 py2

 › ”
qy2

Reagrupamos en términos de u, u 0 , u 00 y así resulta:
0 0 0 u .y100 C py1 C qy1 / Cy1 u 00 C 2y1 u 0 Cpy1 u 0 D 0 ) y1 u 00 C 2y1 u 0 C py1 u 0 D 0: L.y1 / D 0

œ

Si hacemos el cambio de variable w D u 0 , se tiene u 00 D w 0, por lo que la ED se reduce a otra de orden uno, concretamente: dw 0 0 y1 w 0 C 2y1 w C py1w D 0 ) y1 C 2y1 w C py1 w D 0: dx Si escribimos ahora la ecuación en forma diferencial, hallaremos:
0 y1 dw C 2y1wdx C py1wdx D 0:

Esta última expresión es una ED que puederesolverse mediante separación de variables. En efecto, multi1 plicando por , tenemos: wy1 dw y0 C 2 1 dx C pdx D 0: w y1 Integrando, encontramos: dw C2 w
0 y1 dx C y1

pdx D C ) ln w C 2 ln y1 C

pdx D C:

Aplicando propiedades de logaritmos encontramos:
2 ln.y1 w/ C 2 pdx D C ) ln.y1 w/ D C

pdx:

Si ahora aplicamos la función exponencial,
2 y1 w D e C R pdx

D eC e

R

pdx

DCe e
R

R

pdx

:

Así,

du e pdx wD DC ) uDC 2 dx y1

R

pdx

2 y1

dx C K:

De esta manera, cualesquiera de las funciones u ¤ 0 que resulten de esta fórmula será de utilidad para construir una segunda solución y2 D uy1 . Como W .y1 ; y2 / D y1 0 y1 e y2 y1 0 D 0 y2 y1
R pdx 2 y1    

uy1 ¨ 2 D ¨¨ 1 C u 0 y1 uy1 y 0 0 uy1 C u 0 y1
R pdx

¨ 0 2 uy1 y 0 ¨¨ 1 D u y1 D

DC2 .y1 / D Ce  

¤ 0;

4.2 Reducción de orden

3

resulta que f y1 ; y2 g es un conjunto fundamental de soluciones. Tomamos el caso más sencillo para la función u, esto es C D 1 y K D 0; u toma la forma de uD En resumen, tenemos el siguiente resultado:. Dada la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D 0 y una solución no nula y1 , entonces: 1.La función y2 D uy1 , donde uD e
R pdx 2 y1

e

R

pdx

2 y1

dx:

(4.1)

dx;

es también solución y, además, f y1 ; y2 g conforma un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial. 2. La solución general de la ED (4.1) está dada por: y D c1 y1 C c2 y2 :

Ejemplo 4.2.1 Consideremos la ED lineal homogénea de segundo orden x 2 y 00 C 2xy 0 1. Verificar que y1 D x...