EDP Libro

Introducci´
on a las Ecuaciones
en Derivadas Parciales
(EDP’s)

Sixto Romero
Francisco J. Moreno
Isabel M. Rodr´ıguez

T´ıtulo de la obra original
Introducci´
on a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
(EDP’s)

c Copyright: 2001. Autores
Sixto Romero, Francisco J. Moreno, Isabel M. Rodr´ıguez

Reservados todos los derechos de publicaci´on, repreducci´on, pr´estamo o cualquier otraforma de expresi´on de este ejemplar, por los autores.

Universidad de Huelva
Escuela Polit´ecnica Superior de La R´
abida
21819. Palos de la Frontera 8Huelva)

Edita:Servicio de Publicaciones. Universidad de Huelva
Printed in Spain
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DL:
Fotocomposici´
on: Los autores
Impresi´
on:

´Indice general
1. Nociones sobre las ecuaciones en derivadas parciales (EDP’s)

9

1.1. Introducci´on . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Definici´on. Algunos conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Significado geom´etrico de las soluciones general y particular . . . . . . . . . . 15
1.4. EDP’s que surgen de la eliminaci´on de funciones arbitrarias . . . . . . . . . . 17
1.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 19
1.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales. Propiedades

25

2.1. Ecuaci´on en derivadas parciales lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Propiedades de las soluciones de las EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.Clasificaci´on de las EDP’s de segundo orden de dos variables independientes . 29
2.4. Condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.1. Ecuaciones de tipo hiperb´olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.2. Ecuaciones de tipo parab´olico . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.3. Ecuaciones de tipo el´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6. Planteamiento de problemas para las EDP’s de segundo orden . . . . . . . . . 33

3

´INDICE GENERAL

4

2.7. M´etodo de separaci´on de variables: caso pr´actico . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 34
2.8.1. M´etodo de separaci´on de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. Ecuaciones de tipo hiperb´
olico

45

3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 47
3.2. Problemas que dan lugar a vibraciones u oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1. Problema de la cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2. Modelo matem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.3. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.4. Generalizaci´on delproblema de la cuerda vibrante . . . . . . . . . . . 52
3.3. Ecuaci´on ondulatoria unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1. Soluci´on del problema de Cauchy (problema inicial) para una cuerda
ilimitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.2. Casos particulares de la f´ormula de D’ Alembert . . . . . . . . . . . . 58
3.3.3.

¿C´omose debe plantear el problema de forma correcta ? . . . . . . . 61

3.3.4. Ejemplo de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.5. Otro ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....