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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
MEDIANTE DETERMINANTES

Página 101
REFLEXIONA Y RESUELVE
Resolución de sistemas 2 Ò 2 mediante determinantes
■

| Ax |

Resuelve, aplicando x =

e y=

| A|

| Ay |
| A|

, los siguientes sistemas de ecuaciones:

° 3x – 5y = 73
a) ¢
£ 4x + 2y = 2
° 5x + 4y = 33
b) ¢
£ 7x – 11y = 13
Comprueba, en cada caso, la solución.

| |

a) 3x – 5y =73 ° | A | = 3 –5 = 26
¢
4 2
4x + 2y = 2 £

|

|

| Ax | = 73 –5 = 156
2 2

|

|

| Ay | = 3 73 = –286
4 2
Por tanto: x =

156
–286
= 6; y =
= –11
26
26

|

|

b) 5x + 4y = 33 ° | A | = 5 4 = –83
¢
7 –11
7x – 11y = 13 £

|

|

| Ax | = 33 4 = – 415
13 –11

|

|

| Ay | = 5 33 = –166
7 13
Por tanto: x =

– 415
–166
= 5; y =
=2
– 83
– 83Unidad 4. Resolución de sistemas mediante determinantes

1

■

¿Cómo crees que sería la solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas según la regla anterior?
Pon las fórmulas correspondientes y aplícalas a la resolución de estos sistemas:
° 3x – 2y + z = 20
§
+ 3z = 14
a) ¢ x
§
y – z = –4
£

°x + y + z = 3
§
b) ¢ x – y + z = 1
§
=2
£ x – 2y

Si tenemos unsistema 3 Ò 3:

(

)

a11 x + a12 y + a13 z = c1 °
a11 a12 a13
§
a21 x + a22 y + a23 z = c2 ¢ y llamamos: A = a21 a22 a23 ;
a31 a32 a33
a31 x + a32 y + a33 z = c3 §£

(

) (

c1
Ax = c2
c3

a12 a13
a11
a22 a23 ; A = a21
y
a32 a33
a31

entonces: x =

| Ax |
| A|

, y=

| Ay |

, z=

| A|

) (

c1
c2
c3

a13
a11 a12
a23 ; A = a21 a22
z
a33
a31 a32

)c1
c2 ;
c3

| Az |
| A|

(siempre que | A | ? 0).
Si aplicamos las fórmulas a la resolución de los sistemas propuestos, tenemos que:
a) 3x – 2y + z = 20 °
3 –2 1
§
x
+ 3z = 14 ¢ | A | = 1 0 3 = –10
§
0 1 –1
y – z = –4 £

|

|

|

|

|

|

|

|

20 –2 1
3 20 1
3 –2 20
| Ax | = 14 0 3 = –50; | Ay | = 1 14 3 = 10; | Az | = 1 0 14 = –30
– 4 1 –1
0 – 4 –1
0 1–4
Por tanto: x =

–50
10
–30
= 5; y =
= –1; z =
=3
–10
–10
–10

b) x + y + z = 3 °
1 1 1
§
x – y + z = 1 ¢ | A | = 1 –1 1 = 2
§
1 –2 0
x – 2y
=2£

|

|

|

|

|

3 1 1
1
| Ax | = 1 –1 1 = 8; | Ay | = 1
2 –2 0
1
Por tanto: x =

2

3
1
2

|

|

|

1
1 1 3
1 = 2; | Az | = 1 –1 1 = – 4
0
1 –2 2

8
2
–4
= 4; y =
= 1; z =
= –2
2
2
2
Unidad4. Resolución de sistemas mediante determinantes

UNIDAD

4

Inversa de una matriz 2 Ò 2
■

x=

a22
–a21
, y=
| A|
| A|

Obtén, de forma similar, las expresiones de z y de t. Llegarás, así, a la siguiente conclusión:
A–1 =

(

1 a22 –a12
| A | –a21 a11
0

a11z + a12 t = 0 °
z=
a21z + a22 t = 1 ¢£
Por tanto: A –1 =
■

a12
a22

§1

| A|

(

)

§ = –a

1a22 –a12
| A | –a21 a11

12

| A|

a11

;

§a
t=

21

| A|

0
1

§=

a11
| A|

)

Comprueba, efectuando el producto, que:
A · A–1 = I
A · A –1 =

(

=

■

)

(

)

(

) ( )

1 |A| 0
1 0
=
=I
| A | 0 |A|
0 1

(

)

(

) (

1
1 6 –7
6 –7
3/5
=
=
| M | –2 4
10 –2 4
–1/5

–7/10
2/5

( )
4 7
2 6

)

Haz los productos M· M –1 y M –1 · M y comprueba que, en ambos casos, obtienes la matriz unidad.
M · M –1 =
M –1 · M =

■

(

Aplica la expresión anterior para calcular M –1, siendo: M =
M –1 =

■

)

1
1 a11 a22 – a12 a21
a11 a12
a22 –a12
0
·
=
=
a21 a22
0
–a12 a21 + a11 a22
| A | –a21 a11
| A|

( )(
) ( )
(
)( ) ( )
4 7
3/5
·
2 6
–1/5
3/5
–1/5

–7/10
1 0
=
2/5
0 1–7/10
4 7
1 0
·
=
2/5
2 6
0 1

¿Por qué crees que es necesario que el determinante de A sea distinto de cero
para que una matriz cuadrada tenga inversa?
En su obtención, dividimos por |A|.
Es necesario que |A| ? 0 para que el sistema que obtenemos tenga solución única.

Unidad 4. Resolución de sistemas mediante determinantes

3

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1. Aplica el teorema de Rouché para...