Efecto Doopler

Tema 6 EL EFECTO DOPPLER Y EL ´ DESPLAZAMIENTO COSMOLOGICO AL ROJO
6.1 Introducci´n o

El t´ rmino efecto Doppler se refiere a todos los fenomenos relacionados con el cambio de e ´ frecuencia observada para una perturbacion periodica dada. Se denomina as´ en honor al ´ ´ ı f´sico austriaco C. Doppler quien enuncio los principios esenciales del mismo en 1842, en ı ´ conexion con laespectroscop´a atomica. ´ ı ´ Para comprender mejor las diferencias con el caso de la luz, que es el que nos interesa en Relatividad, discutiremos primero el efecto Doppler acustico. Al final comentaremos ´ brevemente los aspectos m´ s sobresalientes, algunos de ellos recientes, del desplazamiento a cosmologico al rojo debido al efecto Doppler producido por el alejamiento de las galaxias. ´ En el caso delsonido, o cualquier vibracion que se propague por un medio, lo importante ´ es la velocidad de fuente y receptor respecto al medio de propagacion. En cambio, para la ´ luz en el vac´o lo importante es la velocidad relativa entre la fuente y el receptor. ı

6.2

Efecto Doppler ac´stico u

´ Todos estamos familiarizados con el efecto Doppler acustico: cambio de tono que experimenta un sonido cuandoel observador (receptor), la fuente del sonido o ambos se mueven respecto al medio de propagacion del mismo (habitualmente el aire). Consideraremos, por ´ simplicidad, que emisor y receptor se mueven a lo largo de la misma l´nea recta. ı 47

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EL SIGNIFICADO DE LA RELATIVIDAD

ω F u1 R u2

Figura 6.1: Fuente (F) y receptor (R) de un sonido en movimiento respecto al aire.

6.2.1Fuente y receptor en movimiento respecto al aire

Pensaremos en la senal acustica como una sucesion de pulsos separados por un intervalo de ˜ ´ ´ 1 tiempo constante τ (el periodo de la fuente). Sea w la velocidad del sonido respecto al aire y sean u1 y u2 respectivamente las velocidades de la fuente (F) y del receptor (R) respecto al aire (Fig. 6.1). Supondremos que ni F ni R superan la barrera delsonido (|u1 | < w, |u2 | < w). Notese que el sonido no viaja a distinta velocidad respecto al medio de propagacion ´ ´ aunque la fuente de emision se mueva a trav´ s del mismo. Entonces, v = w − u2 es la ´ e velocidad del sonido segun R y λ = wτ − u1 τ = (w − u1 )τ es la longitud de onda de la senal ´ ˜ respecto al aire, de modo que la separacion temporal entre dos pulsos segun R (el periodo ´ ´τ que mide el receptor) ser´ a τ = w − u1 τ w − u2 ⇒ ν = w − u2 ν, w − u1 (6.1)

donde ν es, por tanto, la frecuencia recibida por R, siendo ν la frecuencia emitida por F. Veamos ahora unos cuantos casos particulares de inter´ s. Especificamos entre par´ ntesis e e el cambio de tono que sufre el sonido: se hace m´ s grave (menor frecuencia) o m´ s agudo a a (mayor frecuencia). Introducimos elcociente β = v/w donde v es la velocidad relativa entre receptor y fuente.

6.2.2

Fuente en reposo

Receptor se aleja (u1 = 0, u2 = v) ν = ν(1 − β) (m´ s grave) a Receptor se acerca (u1 = 0, u2 = −v) a ν = ν(1 + β) (m´ s agudo)
1

(6.2)

(6.3)

Se trata entonces de un sonido puro. En general en una onda sonora se superponen diferentes frecuencias. Siempre podemos tratar cada una de ellaspor separado.
JIIC, www.ugr.es/∼jillana/relatividad.html

Tema 6: El efecto Doppler y el desplazamiento cosmol´gico al rojo o

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6.2.3

Receptor en reposo

Fuente se aleja (u1 = −v, u2 = 0) ν = ν 1+β (m´ s grave) a (6.4)

Fuente se acerca (u1 = v, u2 = 0) ν = ν 1−β (m´ s agudo) a (6.5)

Notese que para β ´ 1 (velocidades pequenas comparadas con las del sonido) da igual que ˜ lafuente se acerque (o aleje) al receptor o que el receptor se acerque (o aleje) a la fuente, pues en este caso 1/(1 ± β) ≈ (1 β).

6.3

Efecto Doppler para la luz

En el caso de la luz en el vac´o solo importa la velocidad relativa entre la fuente y el obserı ´ vador. Consideraremos en primer lugar los casos en los que fuente y observador se mueven sobre la l´nea recta que los separa,...