Ej2 C Mov Relativo

CINEMATICA DE LA PARTICULA
PRINCIPIOS DE MOVIMIENTO RELATIVO
EJEMPLO 1
Una partícula P se mueve a lo largo de una semicircunferencia de radio R, la que está fija a un
bloque rígido horizontal, como se muestra en la
figura.
Suponiendo que la componente de la
velocidad en la dirección del diámetro AB es vo
constante, determine, en función de θ, cuál debiera
ser el movimiento de la base para que lavelocidad
absoluta de P sea v1 en dirección vertical.

P
r
θ

A

B

CINPART19- Adaptado de Prob. 469 Wittenbauer
C1-06-1
SOLUCION
a)

y

Movimiento de P con respecto a la base

Con respecto a la base, la partícula P describe un
movimiento circular, y su velocidad v tiene la dirección
tangente a la curva definida por eθ:

v =

eθ

er

Se estudia el movimiento de la partícula con respecto
a la basesuponiendo que esta última permanece fija. Se
considera un sistema de coordenadas cartesianas x-y fijo
a la base como se muestra en la figura.

P

r
θ

A

B

v eθ

Conocida la componente x de la velocidad (vo constante), su magnitud v queda dada por:

v x = v o = v sin θ

⇒

v=

vo
sin θ

La componente y de la velocidad es:

v y = v cos θ = v o cot θ

v = v o e x + v o cot θ e y
La velocidad de Pcon respecto a la base es
La aceleración de P en movimiento circular con respecto a la base se puede determinar en términos de sus
componentes normal y tangencial:

a = a t e θ − a c e r = v& e θ −

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

v2
er
r

Cap 2 Ejemplos Cinemática de la Partícula – V 2015

E2C-1

x

Pero:

v=

vo
sin θ

⇒

v& = −

⇒

x = − r cos θ

v o cos θ θ&
sin 2 θ

x& = r sin θ θ& = v o⇒

θ& =

vo
r sin θ

2

⇒

v& = −

v o cos θ
r sin 3 θ

La aceleración relativa a la base es entonces:
2

2

v cos θ
vo
a = − o 3 eθ −
er =
r sin θ
r sin 2 θ

⇒

En términos de componentes cartesianas la aceleración relativa de P es:

e θ = sin θ e x + cos θ e y
2

⇒

a=−

e r = − cos θ e x + sin θ e y
2

v o cos θ
vo
sin θ e x + cos θ e y −
− cos θ e x + sin θ e y =
3
r sin θ
r sin 2 θ

[

]

[]

2

 cos 2 θ
 
vo

 e y  =
(
)
cos
cos
e
sin
θ
−
θ
+
θ
=−
+

x
 sin θ
r sin 2 θ 

 
2

vo
ey
=−
r sin 3 θ
Nótese que la componente x de la aceleración resulta nula, lo cual está conforme con los datos (componente
horizontal de la velocidad es constante).

b)

Movimiento absoluto de P

Sean vP y aP la velocidad y aceleración absolutas de P. Suponiendo que la base sólo se desplaza(no hay
rotación), con velocidad V y aceleración A, se tiene:

vP = V + v = V +

vo
e θ = (V x + v o ) e x + V y + v o cot θ e y
sin θ

(

)

2
2
2






v
cos
θ
v
v
o
o
o
 eθ +  A r −
 er = A x ex +  A y −
 ey
a P = A + a =  A θ + −
3
2
3




r sin θ 
r sin θ 
r sin θ 




CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Ejemplos Cinemática de la Partícula – V 2015

E2C-2Imponiendo las condiciones del problema:

v P = v1 ey ⇒

(Vx + vo ) = 0

⇒ Vx = − vo ,

(V

y

)

+ vo cot θ = v1 ⇒ Vy = v1 − vo cot θ

2
2


v
v
o
o
 = 0 ⇒ Ay =
ap = 0 ⇒ Ax = 0 ,  Ay −
3 
r
sin
θ
r sin3 θ



Estas son las componentes de la velocidad y aceleración del bloque para que se cumpla la condición dada.

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Ejemplos Cinemática de la Partícula – V2015

E2C-3

EJEMPLO 2
Se estudiará el sistema de la figura, que consiste en
una partícula P fija al extremo de una cuerda
inextensible de longitud l, la que tiene el otro
extremo fijo a un punto A en el borde de un disco
rígido de radio R, el que permanece en todo instante
en el plano vertical, pivoteado en su centro a un
punto fijo O. El sistema es tal que todos los
elementos se encuentran en todoinstante en un
plano vertical único, y la cuerda permanece siempre
en tensión.

P

l

l
A

R

A

R
O

O

SOLUCION POR PRINCIPIOS DE MOVIMIENTO RELATIVO
a)

P

x

y

el

Caso antes que la cuerda se enrolle en torno al disco

eθ

Se elige un sistema de coordenadas cartesianas x-y-z, con origen O
coincidente con el centro del disco, y orientado en tal forma que el plano x-y
coincide con el plano...