Ejercicioderivadas
Páginas: 92 (22900 palabras)
Publicado: 29 de octubre de 2012
s Problemas resueltos de derivadas
Derivada de una constante Derivada de las potencias Derivada del producto de una función por una constante Derivada de la suma Derivada del producto Derivada del cociente Segunda derivada y derivadas de orden superior Derivadas de las funciones trigonométricas • Derivada del seno La regla de la cadena Problemas de razones de cambio Problemas de aplicación demáximos y mínimos
Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010
Para cualquier inquietud o consulta escribir a:
quintere@hotmail.com quintere@gmail.com quintere2006@yahoo.com
0H 1H 2H
1
DERIVADA DE UNA CONSTANTE Si c es una constante y si f(x) = c, entonces f’ (x) = 0 Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 123 f(x) = 5 f’ (x) = 0 DERIVADA DE LASPOTENCIAS La regla de las potencias para enteros negativos es la misma que para los positivos Si n es un entero negativo y x ≠ 0 d ⎛ n⎞ n -1 ⎜x ⎟ = n x dx ⎝ ⎠ Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124 f(x) = x8
d 8 x = 8 x 8 -1 dx f ' (x ) = 8 x 7
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124 f(x) = x
( )
d (x ) = x1-1 dx f ' (x ) = x 0
f’ (x) = 1 Derivada del productode una función por una constante Si f es una función, c es una constante y g es la función definida por g (x) = c f(x) y si f ’existe, entonces g’ (x) = c f ’ (x) Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 125 f(x) = 5 x7
d d 5 x 7 = 5 (x )7 dx dx
2
( )
f ' (x ) = 5 (7 ) x 7-1 f ' (x ) = 35 x 6
DERIVADA DE LA SUMA Si f y g son funciones y si h es la función definida por h(x) =f(x) + g(x) y si f’ (x) y g’ (x) existen, entonces h’ (x) = f’ (x) + g’ (x) Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 126 f(x) = 7 x4 – 2 x3 + 8 x + 5
d d d (x )3 d (x ) + d (5) 7 x 4 - 2 x 3 + 8 x + 5 = 7 (x )4 - 2 +8 dx dx dx dx dx f ' (x ) = 7 (4 )(x )4-1 - 2 (3)(x )3-1 + 8 (1)(x )1-1 + 0
(
)
f ' (x ) = 28 (x )3 - 6 (x )2 + 8 (x )0 + 0
f ' (x ) = 28 x 3 - 6 x 2 + 8Calcular la derivada y = 3 x -4 + 3 x 4
y' =
d 3x - 4 d 3x 4 + dx dx
-4 -1
( ) ( )
+ (3) (4) x
4 -1 -5
y’= (3) (-4) x y’= -12x
+ 12x 3
ordenando 12 y' = 12x 3 x5 DERIVADA DEL PRODUCTO Es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera. Si u y v son diferenciables en x, su producto (u v) también lo es,
d (uv ) = u dv+ v du d dx dx
La derivada del producto (u v) es u por la derivada de v mas v por la derivada de u.
3
’ ’ ’ En notación prima, (u v) = u v + v u
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 127 Hallar la derivada de h(x) = (2x3 – 4x2) (3x5 + x2) Primer termino = (2x3 – 4x2) Segundo termino = (3x5 + x2)
h ' (x ) = d 2 x 3 - 4x 2 3 x 5 + x 2 dx d d h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2 3 x5 +x2 + 3 x5 + x2 2 x3 − 4 x2 dx dx
[(
)(
)]
(
) [
](
) [
]
h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2 3 (5) x 5-1 + 2 x 2-1 + 3 x 5 + x 2 2 (3) x 3-1 - 4 (2 ) x 2-1
(
)[
](
)[
]
h ' ( x) = ⎛ 2x 3 - 4x 2 ⎞ ⎡ 15 x 4 + 2 x ⎤ + ⎛ 3x 5 + x 2 ⎞ ⎡6 x 2 - 8 x ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
Resolviendo el polinomio
h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4 x 4 - 8 x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24x 6 - 8 x 3
h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4x 4 - 8x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24 x 6 - 8 x 3
Reduciendo términos semejantes h ' ( x) = 48 x 7 - 84 x 6 + 10x 4 - 16x 3 Ejemplo # 1 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 131 Hallar la derivada de f(x) = (3 x – 2 x2) (5 + 4 x) Primer termino = (3 x – 2 x2) Segundo termino = (5 + 4 x)
f ' (x ) = d 3 x - 2 x 2 (5 + 4 x ) dx d [5 + 4 x ] + (5 + 4 x ) d 3 x− 2 x 2 f ' ( x) = 3 x - 2 x 2 dx dx
[(
)
]
(
)
[
]
f ' ( x) = 3 x - 2 x 2
(
)[ 4] + (5 + 4 x ) [3 - 2 * 2 x 2-1 ]
f ' ( x) = 3x - 2x 2
(
)[ 4] + (5 + 4x ) [3 - 2 * 2x1 ]
]
f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + (5 + 4 x ) [3 - 4 x ]
Resolviendo el polinomio f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + 15 + 12 x - 20 x - 16 x 2
[
[
](
)
4
Reduciendo términos...
Derivada de una constante Derivada de las potencias Derivada del producto de una función por una constante Derivada de la suma Derivada del producto Derivada del cociente Segunda derivada y derivadas de orden superior Derivadas de las funciones trigonométricas • Derivada del seno La regla de la cadena Problemas de razones de cambio Problemas de aplicación demáximos y mínimos
Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010
Para cualquier inquietud o consulta escribir a:
quintere@hotmail.com quintere@gmail.com quintere2006@yahoo.com
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DERIVADA DE UNA CONSTANTE Si c es una constante y si f(x) = c, entonces f’ (x) = 0 Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 123 f(x) = 5 f’ (x) = 0 DERIVADA DE LASPOTENCIAS La regla de las potencias para enteros negativos es la misma que para los positivos Si n es un entero negativo y x ≠ 0 d ⎛ n⎞ n -1 ⎜x ⎟ = n x dx ⎝ ⎠ Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124 f(x) = x8
d 8 x = 8 x 8 -1 dx f ' (x ) = 8 x 7
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124 f(x) = x
( )
d (x ) = x1-1 dx f ' (x ) = x 0
f’ (x) = 1 Derivada del productode una función por una constante Si f es una función, c es una constante y g es la función definida por g (x) = c f(x) y si f ’existe, entonces g’ (x) = c f ’ (x) Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 125 f(x) = 5 x7
d d 5 x 7 = 5 (x )7 dx dx
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( )
f ' (x ) = 5 (7 ) x 7-1 f ' (x ) = 35 x 6
DERIVADA DE LA SUMA Si f y g son funciones y si h es la función definida por h(x) =f(x) + g(x) y si f’ (x) y g’ (x) existen, entonces h’ (x) = f’ (x) + g’ (x) Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 126 f(x) = 7 x4 – 2 x3 + 8 x + 5
d d d (x )3 d (x ) + d (5) 7 x 4 - 2 x 3 + 8 x + 5 = 7 (x )4 - 2 +8 dx dx dx dx dx f ' (x ) = 7 (4 )(x )4-1 - 2 (3)(x )3-1 + 8 (1)(x )1-1 + 0
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f ' (x ) = 28 (x )3 - 6 (x )2 + 8 (x )0 + 0
f ' (x ) = 28 x 3 - 6 x 2 + 8Calcular la derivada y = 3 x -4 + 3 x 4
y' =
d 3x - 4 d 3x 4 + dx dx
-4 -1
( ) ( )
+ (3) (4) x
4 -1 -5
y’= (3) (-4) x y’= -12x
+ 12x 3
ordenando 12 y' = 12x 3 x5 DERIVADA DEL PRODUCTO Es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera. Si u y v son diferenciables en x, su producto (u v) también lo es,
d (uv ) = u dv+ v du d dx dx
La derivada del producto (u v) es u por la derivada de v mas v por la derivada de u.
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’ ’ ’ En notación prima, (u v) = u v + v u
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 127 Hallar la derivada de h(x) = (2x3 – 4x2) (3x5 + x2) Primer termino = (2x3 – 4x2) Segundo termino = (3x5 + x2)
h ' (x ) = d 2 x 3 - 4x 2 3 x 5 + x 2 dx d d h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2 3 x5 +x2 + 3 x5 + x2 2 x3 − 4 x2 dx dx
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h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2 3 (5) x 5-1 + 2 x 2-1 + 3 x 5 + x 2 2 (3) x 3-1 - 4 (2 ) x 2-1
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h ' ( x) = ⎛ 2x 3 - 4x 2 ⎞ ⎡ 15 x 4 + 2 x ⎤ + ⎛ 3x 5 + x 2 ⎞ ⎡6 x 2 - 8 x ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
Resolviendo el polinomio
h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4 x 4 - 8 x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24x 6 - 8 x 3
h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4x 4 - 8x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24 x 6 - 8 x 3
Reduciendo términos semejantes h ' ( x) = 48 x 7 - 84 x 6 + 10x 4 - 16x 3 Ejemplo # 1 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 131 Hallar la derivada de f(x) = (3 x – 2 x2) (5 + 4 x) Primer termino = (3 x – 2 x2) Segundo termino = (5 + 4 x)
f ' (x ) = d 3 x - 2 x 2 (5 + 4 x ) dx d [5 + 4 x ] + (5 + 4 x ) d 3 x− 2 x 2 f ' ( x) = 3 x - 2 x 2 dx dx
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f ' ( x) = 3 x - 2 x 2
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f ' ( x) = 3x - 2x 2
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f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + (5 + 4 x ) [3 - 4 x ]
Resolviendo el polinomio f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + 15 + 12 x - 20 x - 16 x 2
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