Ejercicios calculo

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
MA1002-6: Cálculo Diferencial e Integral. Profesor: Daniel Remenik Z. Auxiliar: Ítalo Riarte C.

Universidad de Chile

Pauta Auxiliar 1.
P1. Sean a ∈ » \ {0,1} y b ∈ ». Considere la función f : » → » definida por:   sen (1 − a )x  ( )    x    f (x ) =  b(x − a )2      sen (a(x − 1))     ln(x )   si x < 0 si 0 ≤ x ≤ 1 si x > 1(a) ¿Es f continua en los intervalos (−∞, 0) ; (0,1) y (1, ∞)? Sí, basta mencionar que por álgebra y composición de funciones continuas f es contínua en dichos intervalos. (b) Encuentre una relación entre a y b de tal forma que f sea continua en 0. Para que f sea continua en 0, debe cumplir la definición, en este caso es más cómdo trabajar con la definición por límites, es decir debe imponerseque lim f (x ) = f (0) = b(0 − a )2 = ba 2 . Para esto se deben
x →0

estudiar los límites laterales, teniendo cuidado con cuál rama de la función considerar:
x →0

lim f (x ) = lim b(x − a )2 = b(0 − a )2 = ba 2 . + +
x →0

x →0

lim f (x ) = lim − −
x →0

sen ((1 − a )x ) x

= lim −
x →0

sen ((1 − a )x ) (1 − a )x

⋅ (1 − a ) = 1 ⋅ (1 − a ).

Como se quiere que la funciónsea continua en 0 los límites por la derecha e izquierda deben ser iguales, por lo que la relación pedida es: ba 2 = 1 − a. (c) Encuentre una relación entre a y b de tal forma que f sea continua en 1. En forma análoga a la parte (b) deben estudiarse los límites laterales e imponer que sean iguales a f (1). lim f (x ) = lim + +
x →1 x →1

sen (a(x − 1)) ln(x )

x →1

=a⋅

sen (a(x − 1)) (x− 1) ⋅ = a ⋅ 1 ⋅ 1 = a. a(x − 1) ln(x )

x →1

lim f (x ) = lim b(x − a )2 = b(1 − a )2 . − −

Como se quiere que la función sea continua en 1 los límites por la derecha e izquierda deben ser iguales, por lo que la relación pedida es: b(1 − a )2 = a.
1

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
(d) Encuentre los valores de a y b de tal forma que f sea continua en todo R.Universidad de Chile

Por la parte (a) la función es continua en los intervalos (−∞, 0) ; (0,1) y (1, ∞), es decir en R \ {0,1}. Por la parte (b) la función es continua en x = 0 ssi ba 2 = 1 − a. Por la parte (c) la función es continua en x = 1 ssi b(1 − a )2 = a. (1) (2)

Para que sea continua en x = 0 y x = 1, deben cumplirse simultaneamente (1) y (2) es decir los valores de a y b serán los queresuelvan el sistema de ecuaciones (1) y (2). Haciendo (1) ÷ (2) se pueden despejar los valores pedidos a =
1 2

y b = 2.

P2. Considere la función definida para x ≠ 0 como f (x ) = sen( π ) y f (0) = α. Muestre que x independiente del valor de α, f no es continua en 0. La definición de continuidad indica que ∀(x n ) ⊆ A, x n → x ⇒ f (x n ) → f (x ), por lo que para mostrar que f no es continua en0, bastará encontrar un par de sucesiones que no cumplan la definición. Ojo que las sucesiones DEBEN tender a 0, pues ese es el punto que se está estudiando. 1 → 0 y f (x n ) = sen( xπ ) = sen(πn ) = 0 → 0, es decir f (x n ) → 0. n n 1 yn = == sen( xπ ) = sen(π(2n + 1 )) = sen(2n π + π ) = sen( π ) = 1 → 1, es decir f (yn ) → 1. 2 2 2 n 2n + 1 2 xn = Con lo cual NO se cumple que para toda sucesiónse cumpla la definición de continuidad. Nota: hay infinitas sucesiones más que sirven para probar la discontinuidad.

P3. (a) Sea f : R + → R una función que satisface la propiedad: f (x ⋅ y ) = f (x ) + f (y ). Muestre que si f es continua en x = 1, entonces f es continua en todo su dominio. Indicación: Pruebe que f (1) = 0. En primer lugar se probará la indicación, f (1) = f (1 ⋅ 1) = f (1) +f (1) ⇒ f (1) = 2 f (1) ⇔ f (1) = 0. Además, por hipótesis, se sabe que f es continua en 1, es decir ∀(x n ) ⊆ R+, x n → 1 ⇒ f (x n ) → f (1) = 0. Para probar la continuidad en todo R+, se usará la definición: ∀(x n ) ⊆ R +, x n → x ⇒ f (x n ) → f (x ). xn → x ⇒ xn x    → 1 ⇒ f  n  → f (1) = 0, porque f es continua en 1. Por otro lado, usando la propiedad: x    x  

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