ejercicios de cevallos

Prec´
alculo

´
Algebra
vectorial

En todos los problemas deber´a dibujar el o los vectores.
1.-Sean P1 (−2, 3, 3), P2 (−1, 0, 7), P3 (3, 3, −3), P4 (−2 − 3, 4) calcule
a) (v1 − 2v2 ) · v3 ,
d) v3 × (v2 × v1 )

b) (v2 × v3 ) · v1 ,

c) (v1 × v3 ) · (v4 × 3v2 )

si v1 = P1 P3 , v2 = P2 P3 , v3 = P1 P4 , v4 = P2 P3
2.- Encuentre 2u − 3v, u + v y 3u − 4v para los vectores:
b) u =(−1, 3), v = (−1 − 4),
d) v = (−1, 4, −5), u = (2, 2, −1),

a) u = (−3, 2), v = (−1, 5),
c) u = (−2, 3, 5), v = (2, 0, −3)
e) u = (−3 − 2 − 1), v = (3, −5, 6)

3.- Encuentre los componentes horizontal y vertical del vector con longitud y direcci´on dada, y
escriba el vector en t´erminos de los vectores unitarios
a) v = 40, θ = 300 ,
c) v = 35, θ = π/4,
√
e) s = 3, θ = 5π/3

b) v = 50, θ= 1200 ,
d) u = 100, θ = 3π/7,

4.- Un avi´on de propulsi´on vuela en direcci´on N 200 E con una velocidad de 500 millas/h.
Encuentre las componentes norte y este de la velocidad.
5.- Una mujer camina al oeste sobre la cubierta de un trasatl´antico a 2 millas/h. El trasatl´antico
se mueve al norte a una velocidad de 25 mil,las/h. Determine la velocidad y direcci´on de la
mujer respecto ala superficie del agua.
6.- Encuentre: a) a · b y el a´ngulo entre a y b.
√
√
a) a = (1, 2), b = (1, 1)
b) a = (1, 3), b = (− 3, 1),
ˆ
c) a = (−1, 2, 3), b = (2, 3, −1),
d) a = −5ˆj, b = −ˆi + 2ˆj + k,
√
√
e) a = (π, 3, 1), b = (−1, 3, π),
7.- Determine el vector x talque:
1
(−2, 4)
2
4(−1, 2, 3) + x − 2(1, 0, −3) = (−2, 3, 4)
(2, 3, 4) × (−2, 3, 4) + 2x = (3, 4, 5) × (2, 3, 4)
3x+ (2, −1) =

8.- Encuentre el valor de α

talque los vectores dados sean ortogonales
b) u = (3, 4, 5), v = (α, −3α, 3),

a) A = (1, α, 5), B = (3, 2, 1),
c) A = (3 − α, 2, 1), B = (α, 4, 2),

d) a = (1, α, 4), b = (3α, 1 − α, 2),
√
9.- Sean s = (−1, 2, −2), v = (4, −3, 5), w = (−4, 2, 0) y t = (−1, −2, 3)
1

(a) Determine el vector unitario en cada direcci´on.
(b) Encuentre elvector de longitud 2 en la direcci´on de s
(c) Determine un vector en la direcci´on de t cuya longitud sea 9 veces la de t
(d) Calcule x = 4us − 3uv − 2uw
2
11.- Los vectores a y b
representan dos fuerzas que act´
uan en el mismo punto, y θ es el
m´ınimo a´ngulo positivo entre a y b. Calcule la magnitud de la fuerza resultante.

a)
b)
c)

a = 40, b = 70, θ = 450
a = 5.5, b = 6.2, θ =600
a = 2, b = 8, θ1200

12.- Encuentre un vector unitario que tenga: a) la misma direcci´on que el vector v y b) la
direcci´on opuesta al vector v
a) v = −8ˆi + 15ˆj
√ √
c) v = (1 3, 3)

b) v = (0, 6, 7)
d) v = (2, 3, −1)

13.- El vector x es penperdicular a los vectores a1 = (2, 3, −1) y a2 = (1, −2, 3) y satisface la
ˆ = −6. H´allense las coordenadas de x
condici´on x · (2ˆi − ˆj +k)
14.- H´allense las longitudes de los lados y las magnitudes de los ´angulos de un tri´angulo cuyos
v´ertices son A(−1, −2, 4), B(−4, −2, 0 y C(3, −2, 1)
15.- Sean los tres v´ertices A(3, −4, 7), B(−5, 3, −2), y C(1, 2, −3) del paralelogramo ABCD.
H´allese su cuarto v´ertice D, opuesto a B.
16.- ¿Para qu´e valores de α y β los vectores a = −2ˆi + 3ˆj + αkˆ y b = βˆi − ˆj + 2kˆ soncolineales?
17.-H´allese el vector x, dirigido a lo largo de la bisectriz del ´angulo entre los vectores a =
7ˆi − 4ˆj − 4kˆ y b = −2ˆi − ˆj + 2kˆ
18.- Demu´estrese que (a − b) × (a + b) = 2(a × b)
19.- Demu´estrese que para cualesquiera a, b y c los vectores a − b, b − c y c − a son coplanares.
¿Cu´al es el sentido geom´etrico de este hecho?
20.- Calcule el volumen del paralelepipedo cuyos ladosadyacentes son los vectores posici´on:
a) (1, 2, 3), (−2, 3, 1), (−1 − 1 − 2)
b) (2, 3, −1), (−3 − 2, 0), (2, 4, 1)
c) (2, 0, −1), (−1, −2, 3), (3, −1, 2)
20.- En la figura se muestra un sencillo aparto que se puede usar para simular condiciones de
atracci´on gravitacional en otros planetas. Una cuerda est´a atada a un astronauta que maniobra
en un plano inclinado que forma un a´ngulo de θ...