Ejercicios de teoría de grupos

Álgebra III
Ecuación de clase
J UAN C ARLOS G IRÓN R OJAS
escuela de matemática

o(G) =

∑

[ G : N(a) ] + o ( Z ( G ))

a∈ A− Z ( G )

Donde A es un conjunto en G formado por todos los representantes de
clase.
Conceptos Importantes
Obs: Al cardinal del conjunto B lo denotaremos como #( B)
Definición a, b ∈ G, entonces b se dice que es un conjugado de a en G si
existe un elementog ∈ G tal que
b = g−1 ag.
Escribiremos a ∼ b y nos referiremos a esta relación como conjugación.
Lema La conjugación es una relación de equivalencia sobre G.
1) a ∼ a
2) a ∼ b implica b ∼ a
3) a ∼ b y c ∼ b implica a ∼ c
Demostración propuesta
1)∃e ∈ G | a = e−1 ae → a ∼ a.
2) Si a ∼ b → ∃ x ∈ G | b = x −1 ax donde xbx −1 = a → ∃y = x −1 ∈ G |
y−1 by = a → b ∼ a.
3) Si a ∼ b y b ∼ c →∃ x, y ∈ G | b = x −1 ax y c = y−1 by donde
c = y−1 x −1 axy → c = ( xy)−1 a( xy) → ∃v = xy ∈ G | c = v−1 av → a ∼ c.
Para a ∈ G, sea C(a) = {y ∈ G | a ∼ y}. C(a) , la clase de esquivalencia
de a en G respecto de ∼, se llama usualmente clase de conjugados de a en G,
1

escuela de matemática
consiste en el conjunto de todos los distintos elementos de la forma x −1 ax
cuando x toma valores enG, esto es;
C(a) = {y ∈ G | a ∼ y} = { x −1 ax | x ∈ G }
Las clases de equivalencia constituye una partición de G, en el sentido
siguiente : son no vacías, disjuntas de a pares, y su unión es G.
Definición Si a ∈ G, entonces N(a) , el normalizador de a en G, es el conjunto N(a) = { x ∈ G | xa = ax }
N(a) consiste precisamente de aquellos elementos de G que conmutan
con a.
Lema N(a) es unsubgrupo de G.
Demostración propuesta
Si x, y ∈ N(a) → xa = ax y ya = ay, de donde ( xy) a = x (ya) = x ( ay) =
( xa)y = ( ax )y → xya = axy, luego xy ∈ N(a) .
Si x ∈ N(a) → xa = ax, de donde x −1 a = x −1 ae = x −1 ( ax ) x −1 =
= ax −1 → x −1 a = ax −1 , luego x −1 ∈ N(a) , con lo cual hemos
demostrado que N(a) es un subgrupo de G.
x −1 ( xa) x −1

Teorema Si G es un grupo finito,entonces:
#(C ( a)) = i N(a) ( G ) = [ G : N(a) ] =

o(G)
o ( N(a) )

En otras palabras, el número de elementos conjugados de a en G es el
índice del normalizador de a en G
Demostración propuesta
Sea { N(a) x | x ∈ G } el conjunto de clases laterales a derecha y
C(a) = { x −1 ax | x ∈ G } definamos una aplicación.

⊤ : { N(a) x | x ∈ G } −→ C(a) = { x −1 ax | x ∈ G }
N(a) x
−→
⊤( N(a) x ) =x −1 ax
2

escuela de matemática
∗⊤ esta bien definida
N(a) x = N(a) y −→
N(a) xy−1 = N(a)
−→
xy−1 ∈ N(a)
−→
xy−1 a = axy−1
−→
y−1 ay = x −1 ax
−→ ⊤( N(a) y) = ⊤( N(a) x )
∗⊤ es inyectiva

⊤( N(a) y) = ⊤( N(a) x ) −→ x −1 ax = y−1 ay
−→ axy−1 = xy−1 a
−→
xy−1 ∈ N(a)
−→ N(a) xy−1 = N(a)
−→ N(a) x = N(a) y
∗⊤ es sobreyectiva

∀u ∈ C(a) , ∃v ∈ { N(a) x | x ∈ G } | u = ⊤(v)
u∈ C(a) −→
u = x −1 ax | x ∈ G
−→ basta tomar v = N(a) x | x ∈ G
−→
u = x −1 ax = ⊤( N(a) x )
−→
u = ⊤( N(a) x )
−→
u = ⊤(v)
Estableciendo una biyección entre { N(a) x | x ∈ G } y C(a) = { x −1 ax |
x ∈ G } esto implica que tienen el mismo cardinal, esto es:
#({ N(a) x | x ∈ G }) = #(C(a) )
De donde, si G es finito.
i N(a) ( G ) = [ G : N(a) ] =

o(G)
= #({ N(a) x | x ∈ G }) = #(C(a) )o ( N(a) )

Corolario Sea G un grupo finito.
o(G) =

o(G)
o ( N(a) )
a∈ A

∑
3

escuela de matemática
Donde A es un conjunto en G formado por todos los representantes de
clase.
Demostración propuesta:
Usando el teorema, el corolario se deduce de inmediato. A la ecuación
en este corolario se le suele llamar ecuación de clase de G.
o(G)
o ( N(a) )
a∈ A

∑ #(C(a)) = ∑

C (a) ⇒ o ( G ) =

G=

a∈ A

a∈ A

Donde A es un conjunto en G formado por todos los representantes de
clase.
Sublema a ∈ Z ( G ) si y sólo si N(a) = G. Si G es finito, a ∈ Z ( G ) si y
sólo si o ( N(a) ) = o ( G ).
Demostración propuesta:
i )(⇐) N(a) ≤ G −→ N(a) ⊆ G.

(⇒) x ∈ G y a ∈ Z ( G ) −→ xa = ax, ∀ x ∈ G −→ x ∈ N(a) , de donde
G ⊆ N(a) , por lo tanto N(a) = G.
ii )(⇐) De...