Ejercicios Resueltos F

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y CC

Autores:

Miguel Martínez Concha
Carlos Silva Cornejo
Emilio Villalobos Marín

Funciones Vectoriales y Curvas
Ejercicios resueltos
1.1 Ejercicio 1
Un par de trayectorias de [0; 1) en R3 se de…nen por !
c (t) = (cos t; sin t; bt)
y!
r (t) = (1; 0; t). Responda las siguientes preguntas:
a) ¿Se intersectan lascurvas generadas por !
c (t) y !
r (t)?
b) Si estas trayectorias representan el desplazamiento de un par de partículas.
¿En que puntos ,si los hay, estas partículas se encuentran?
Solución:
a) !
c (t) es la ecuación de la hélice ascendente sobre el manto del cilindro
2
x + y 2 = 1 y cada vuelta demora 2 unidades de tiempo. Asimismo,
!
r (t) = (1; 0; t) es una recta vertical paralela al eje axial delcilindro , que
esta sobre el manto de x2 + y 2 = 1 y pasa por (1; 0; 0).
Igualando las primeras componentes cost = 1 ,obtenemos que las curvas se
intersectan para t = 0; 2 ; 4 ; : : :
b) Igualando las terceras componentes bt = t =) Si b = 1;entonces las
partículas se encuentran en los
puntos (1; 0; 0); (1; 0; 2 ); :::; (1; 0; 2n ) con n 2 Z+
0.
1.2 Ejercicio 2
La curva C es de…nida a partir de latrayectoria !
c (t) = (2 cos(t); 2 sin(t); t)
con 0
t
2 . Describa la representación grá…ca de C y pruebe que si se
usa como parametro la longitud de arco s , el vector tangente a la curva es un
vector unitario.
Solución:
Por la continuidad de las funciones x(t) = 2cos(t); y(t) = 2sin(t) y z(t) = t
!
podemos inferir que C parte del punto
c (0) = (x(0); y(0); z(0)) = (2; 0; 0)
!
y terminaen c (2 ) =(x(2 ); y(2 ); z(2 )) = (2; 0; 2 ); además que la curva se
asciende a través del manto del cilindro x2 + y 2 = 4 porque [x(t)]2 + [y(t)]2 =
[2 cos(t)]2 + [2 sin(t)]2 = 4 como se ilustra en la …gura
El vector posición de esta curva es !
c (t) = (2cos(t); 2sin(t); t). El vector
tangente es !
c 0 (t) = ( 2 sin(t); 2 cos(t); 1) D(a)
y la longitud del vector tangente es
p
p
k!
c 0 (t)k = [ 2 sin(t)]2+ [2 cos(t)]2 + 1 = 5 (b)
1

La longitud total de esta curva es
Z 2
Z
Longitud =
k!
c 0 (t)k dt =
0

2

p

5dt = 2

p

5

0

Rt
De…nimos s(t) = 0 kc0 (u)k du para t 2 [0; 2 ] =) s(t) es la longitud de
curva C desde (2; 0; 0) hasta (x(t); y(t); z(t)):
Claramente s(t) es continua y estrictamente creciente en [0; 2 ] la ecuación
s = s(t) puede resolverse para t como una función de s, es decir t =t(s) (c)
En este caso t = ps5 así es que
!
c (s) = !
c (t(s)) =

s
p
5

2 cos

; 2 sin

s
p
5

s
;p
5

es vector posición en términos de s, derivando
!
c 0 (s)

= !
c 0 (t(s)) =
=

2
p
5

sin

1
s
p
p ; 2 cos
5
5
s
1
; cos p
;
2
5

2 sin
s
p
5

Calculando su modulo
k!
c 0 (s)k =

2
p
5

=

2
p
5

s

sin

s
p
5

1+

1
=1
4

r

2

+ cos

s
p
5

1
1
p ;p
5
5
(1)

s
p
5

2

+

1
4

Por lo tanto, !
c 0(s) es vector unitario.
Especi…caciones:
a) Si !
c (t) describe la trayectoria de una partícula en el espacio, el vector
!
0
c (t) = ( 2 sin(t); 2 cos(t); 1) es la velocidad con que se desplaza la partícula
por la curva C enpel punto !
c (t), en el instante “t”.
b)k!
c 0 (t)k = 5 es la rapidez con que se desplaza la partícula, 8t, lo que
signi…ca que la partícula se mueve con rapidez constante 8t.c) Asimismo, la longitud del arco es
Z t
s(t) =
k!
c 0 (t)k du
0
Z tp
p
=
5du = 5t
0

p

s
5t =) t = p
5
En general y en teoría la ecuación s = s(t) siempre se puede resolver para t
en términos de s, es decir tener t = t(s). En la práctica existen casos en los que
por razones algebraicas no se puede tener t = t(s) ¿Conoces algún caso?
s=

2

1.3 Ejercicio 3
!
!
Una partícula se mueve en elespacio con vector posición !
r (t) = t A +t2 B +
3 !
!
! !
2 32 t 2 A B , donde A y B son dos vectores unitarios …jos que forman ángulo
de 3 radianes. Calcular la velocidad de la partícula en el instante t y determinar
en cuanto tiempo recorre una distancia de 12 unidades de longitud de arco desde
la posición en t = 0:
Solución:
La velocidad es el vector !
v (t) = !
r 0 (t) donde
!
!
!
r 0 (t) = A +...