Ejercicios_resueltos

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EJERCICIOS RESUELTOS 7
TEMA: Distribución Normal
Nota: el símbolo Φ(Z) se interpreta como buscar en tablas el área a la izquierda del valor de
Z que se esta manejando.
1. Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que está
a) a la izquierda de z = 1.43
P(Z < 1.43) = Φ( 1.43 ) = 0.9236
b) a la derecha de z = -0.89
P(Z > -0.89) = 1 - Φ( -0.89) = 1- 0.1867 =0.8133
c) entre z = -2.16 y z = -0.65
P( -2.16 d) a la izquierda de z = -1.39
P(Z <-1.39) = Φ( -1.39 ) = 0.0823
e) a la derecha de z = 1.96
P(Z > 1.96) = 1 - Φ( 1.96) = 1 – 0.9750 = 0.0250
f) entre z = -0.48 y z = 1.74
P( -0.48 2. Dada una distribución normal estándar con µ = 30 y σ =6, encuentre
a) P(Z Φ( k ) = 0.0427 k = -1.72
b) P(Z>k)= 0.2946
Φ( k ) = 1- 0.2946 = 0.7054 k =0.54
c) P(-0.93 Φ( k ) = 0.7235 + Φ(-0.93 ) = 0.8997 k = 1.28
3. Dada la variable X normalmente distribuida con media 18 y desviación estándar 2.5, encuentre
a) P(X<15)=
P(X < 15) = Φ[(15 - 18)/2.5 ] = Φ[-1.20 ] = 0.1151
b) El valor de k tal que P(X < k)= 0.2236
Φ( Z ) = 0.2236 Z =-0.76
k = Zσ + µ = (-0.76)(2.5) + 18 = 16.10
c) El valor de k tal que P(X > k)= 0.1814
1 - Φ( Z ) = 0.1814 Φ( Z )= 0.8186 Z = 0.91
k = Zσ + µ = (0.91)(2.5) + 18 = 20.28
d) P(17 P(17 < X < 21) = Φ[(21 – 18)/2.5 ] - Φ[(17 – 18)/2.5 ]
= Φ[1.20 ] - Φ[-0.40 ] = 0.8849 – 0.3446 =0.5404
4. Un investigador científico reporta que unos ratones vivirán un promedio de 40 meses cuando sus
dietas serestringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga
que las vidas de tales ratones se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 6.3
meses, encuentre la probabilidad de que un ratón dado viva
µ = 40 y σ = 6.3

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a) más de 32 meses
P(X > 32) = 1 - Φ[(32 – 40)/6.3 ] = 1 - Φ[-1.27 ] = 1 – 0.1021 = 0.8979
b) menos de 28 meses
P(X <28) = Φ[28 –40)/6.3] = Φ[-1.90] = 0.0284
c) entre 37 y 49 meses
P(37 < X < 49) = Φ[49 – 40)/6.3 ] - Φ[(37 – 40)/6.3 ]
= Φ[1.43 ] - Φ[-0.48 ] = 0.9234 – 0.3170 = 0.6065
5. Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva un promedio de 200 mililitro
por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a
15 mililitros,
µ = 200 y σ = 15
a) ¿qué fracción de losvasos contendrán más de 224 mililitros?
P(X > 224) = 1 - Φ[(224 – 200)/15 ] = 1 - Φ[1.60 ] = 1 – 0.9452 = 0.0548
b) ¿cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?
P(191 < X < 209) = Φ[209 – 200)/15 ] - Φ[(191 – 200)/15 ]
= Φ[0.60 ] - Φ[-0.60 ] = 0.7257 – 0.2743 =0.4514
c) ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para lassiguientes 1000 bebidas?
P(X > 230) = 1 - Φ[(230 – 200)/15 ] = 1 - Φ[2.00 ] = 1 – 0.9772 = 0.0228
Total de vasos 1000*0.0228 = 22.8 aproximadamente 23
P25

d) ¿por debajo de qué valor obtendremos 25% de las bebidas más pequeñas?
K = 25 Área = 0.25 Φ( Z ) = 0.25 Z = -0.67

x = Zσ + µ = (-0.67)(15) + 200 = 189.88

6. Un abogado va todos los días de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de laciudad.
El tiempo promedio para un viaje de ida es 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8
minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente.
µ = 24 y σ = 3.8
a) ¿cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos ½ hora?
P(X > 30) = 1 - Φ[(30 – 24)/3.8 ] = 1 - Φ[1.58 ] = 1 – 0.9428 = 0.0572
b) Si la oficina abre a las 9:00 am y él sale diario desu casa a las 8:45 am, ¿qué porcentaje
de las veces llega tarde al trabajo?
P(X > 15) = 1 - Φ[(15 – 24)/3.8 ] = 1 - Φ[-2.37 ] = 1 – 0.0089 = 0.9911
c) Si sale de su casa a las 8:35 am y el café se sirve en la oficina de 8:50 a 9:00 am, ¿cuál es
la probabilidad de que pierda el café?
P(X > 25) = 1 - Φ[(25 – 24)/3.8 ] = 1 - Φ[0.26 ] = 1 – 0.6038 = 0.3962
d) Encuentre la longitud de tiempo por...

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