Ejercicios_resueltos

Tema 9 – Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I – 1º Bach.

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TEMA 9 – LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS
CIRCUNFERENCIA
EJERCICIO 1 : Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto P (1, 3), y que es tangente a la
recta r : 4x  3y  1  0.
Solución:
 El radio, R, de la circunferencia es igual a la distancia del centro, P (1, 3), a la recta tangente,
| 4 · 1  3 · 3  1 | | 4 9  1 | 12
r : 4x  3y  1  0: R  dist P, r 


5
16  9
25
2

 12 
 La ecuación de la circunferencia será: x  12  y  32    ; es decir :
 5
x  12  y  32  144  x 2  y 2  2x  6y  106  0  25x2  25 y2  50x 150y 106  0
25
25

EJERCICIO 2 :
a) Calcula el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:2x2  2y2  8x  12y  24  0
b) Escribe la ecuación de lacircunferencia de radio 3, que es concéntrica con la anterior.
Solución:
a) Dividimos entre 2 la ecuación: x2  y2  4x  6y  12  0
4 6
Centro   ,   2, 3 
2 2
Radio  2 2  3 2  12  4  9  12  1  1

b) Si tiene centro (2, 3) y radio 3, su ecuación será: (x  2)2  (y  3)2  9, es decir:
x2  y2  4x  6y  4  0
EJERCICIO 3 : Estudia la posición relativa de la recta r : 2x  3y 5  0 y la circunferencia:
x2  y2  6x  2y  6  0
Solución:
 Hallamos en centro y el radio de la circunferencia:
6 2
Centro  C   ,   3, 1
2 2
Radio  R  9  1  6  4  2

 Hallamos la distancia del centro a la recta dada: dist C, r  

| 2 · 3 3 · 1 5 |



49

| 6 3 5|
13



8

 2,22  2

13

Por tanto, la recta es exterior a la circunferencia.
EJERCICIO 4 :
a) Hallael centro y el radio de la circunferencia: x2  y2  2x  3  0
b) Estudia la posición relativa de la recta 2x  y  0 respecto a la circunferencia anterior.
Solución:
2 0
a) Centro   ,   1, 0
2 2

Radio  12  0 2   3  1  3  4  2

b) Hallamos la distancia del centro a la recta dada: distancia 

2 · 1 0
4 1



2
5

 radio  Son secantes.

Tema 9 – Lugares geométricos.Cónicas. Matemáticas I – 1º Bach.

2

EJERCICIO 5 : Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 3x  4y  5  0 y cuyo centro es el
punto C (2, 1).
Solución:
 El radio de la circunferencia es la distancia del centro a la recta dada:
3 · 2  4 · 1 5
645
7
Radio 


5
9  16
25
49
 La ecuación de la circunferencia es: x  22  y  12 
, es decir : 25x2  25y2  100x  50y  76 0
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EJERCICIO 6 : Escribe la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P (2, 1), Q (3, 0) y R (0, 2).
Solución:
La ecuación de la circunferencia es x2  y2  Ax  By  C  0. Hallamos A, B y C teniendo en cuenta que P, Q y
R satisfacen la ecuación, por ser puntos de la circunferencia:
4  1  2 A  B  C  0  2 A  B  C  5  A  3


9  0  3A  0  C  0  3A
 C  9  B 7
Por tanto, la ecuación es: x2  y2  3x  7y  18  0


0  4  0  2B  C  0 
 2B  C  4 C  18
EJERCICIO 7 : Halla el valor de k para que la recta 3x  4y  k  0 sea tangente a la circunferencia x2  y2 
4y  5  0.
Solución:
 Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:
0 4
Centro   ,
  0,  2
2 2 
Radio  0  4   5  9  3

 Calculamos la distancia del centroa la recta dada: d 

3 · 0  4 ·  2  k



k 8

9  16
 La recta es tangente a la circunferencia cuando:
k  8  15  k  23
k 8
 3  k  8  15  
5
k  8  15  k  7

5

EJERCICIO 8 : Obtén el centro y el radio de la circunferencia cuyo centro está en la recta y  3x y que pasa
por los puntos (3, 2) y (1, 4).
Solución:
Si tiene su centro en la recta y  3x, las coordenadas deeste son C (x, 3x).
La distancia de cada uno de los puntos dados al centro ha de ser igual (esta distancia es el radio de la circunferencia):

x  32  3x  22



x  12  3x  42

x2  6x  9  9x2  12x  4  x2  2x  1  9x2  24x  16  8x  4



x

4 1

8 2



y

3
2

1 3
El centro de la circunferencia es C  , .
2 2

El radio es : r  dist C, 3, 2

25 1
 
4 4...