Ejercicios Sucesiones

9 SUCESIONES. LÍMITES DE SUCESIONES

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

9.1 Con una calculadora, forma términos de las siguientes sucesiones y estudia a qué valores tienden. 2n2 3n 1 —— —— —— a) an b) bn c) cn 2 n 1 n 1 5n a) a1 1 a2 8 5 30 11 1,6 a10 200 101 300 101 1,98… a100 20 000 10 001 3000 1001 1,9998

Se observa que tiende a 2. b) b1 3 1,5 2 Se observa que tiende a b10 3.c10 0,02 c100 0,002 c1000 0,0002 c10 000 0,00002 2,757… b100 2,97… b1000 2,997…

c) c1

1 c2 0,1 0,2 5 Se observa que tiende a 0.

9.2 Calcula términos de las siguientes sucesiones y observa si tienen límite. a) an a) a1 b) b1 n2 2 1 1 a2 b2 5 8 b) bn a10 b10 101 1000 n3 a1000 b100 1 000 001 1 000 000 c) cn n2 —— n 2

La sucesión no parece tender a ningún número real; por tanto, no tienelímite. La sucesión no parece tender a ningún número real; por tanto, no tiene límite. c) c1 1 c2 1 c10 8,33… c100 98,039… 3 La sucesión no parece tender a ningún número real; por tanto, no tiene límite. c1000 998,004 c10 000 9998

9.3 Dada la sucesión an a) Halla su límite.

6n ——: 3n 1

b) Calcula las distancias entre los términos a10, a100 y a1000, y el límite. c) ¿A partir de qué términoesta distancia es menor que una centésima? d) ¿Y menor que una diezmilésima? a) Calculamos algunos términos: a10 b) a10 c) an 1,9354… 2 0 1,9354 2 a100 1,993355… 2 1,993355 a1000 2 1,999333… 0,006645; a1000 2 Por tanto, lim
n→

6n 3n 2 1

2.

0,0646; a100

1,999333

0,000667 n

1 6n 6n 6n 2 2 200 1 ⇒ 200 3n 1 ⇒ n ⇒ 66,33 2 3n 1 3n 1 3n 1 100 3 A partir del término 67, la diferenciaentre los términos de la sucesión y su límite es menor que una centésima. 0 2 3n 1 1 ⇒ 20 000 10 000 3n 1 ⇒ 20 000 3 1 n ⇒ 6666,33

d) bn

n. A partir del término 6667, la

diferencia entre los términos de la sucesión y su límite es menor que una diezmilésima.
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9.4 La sucesión de término general bn que bn 3 n 1 0 < 0,00001. 1 ⇒ 300 000 100 000 n

3 n 1

tiene por límite 0. Halla apartir de qué término se verifica

1 ⇒ n

299 999 0 1 100 000

Por tanto, a partir del término 299 999 se verifica que: bn

9.5 La sucesión de término general cn rifica que cn n2 2n2 2 1 1 2 1 —— < 0,0001. 2 1 ⇒ 10 000 2n2 4 4n2

n2 2 1 —— tiene por límite ——. Calcula a partir de qué término se ve2n2 1 2

2n2 2

1

1 ⇒ 10 000

3 4n2 2

1 ⇒ 30 000 10 000 1 2

4n2 1 10 000

2 ⇒⇒ 29 998

4n2 ⇒ n

29 998 4

86,6. Por tanto, a partir del término 87 se verifica que: cn

9.6 Comprueba que la sucesión de término general an Calculamos algunos términos de la sucesión: a10 17; a100

n

7 tiende a menos infinito. 1007; a10 000 10 007

107; a1000

Los términos se van haciendo cada vez menores, de forma que por muy pequeño que sea un valor, siempre encontramostérminos inferiores a él. Por tanto, lim an
n→

. 5n) .

9.7 Comprueba que lim (3n2
n→

Formamos algunos términos de la sucesión: a10 250; a100 29 500; a10 000 29 950 000. Los términos se van haciendo cada vez mayores, de forma que por muy grande que sea un valor, siempre encontramos términos superiores a él. Por tanto, lim (3n2
n→

5n)

. n2 1, averigua a partir de qué valor delíndi99,995

9.8 Dados k 10 000 y la sucesión de término general an ce n sus términos son mayores que k. an 10 000 ⇒ n2 1 10 000 ⇒ n2 9999 ⇒ n

9999

A partir del término 100, los términos siguientes son mayores que 10 000. 9.9 Efectúa las siguientes operaciones cuando n → a) (n 1) 1 b) —— 1 3n2 a) (n b) 1 3n2 1 ( 1) ( ) 1 ) 1 1 1 ( ) 0 . .

9.10 Realiza las correspondientes operaciones cuando n →a) 3n( 5) 254 b) —— n2 a) 3n( 5) b) 254 n2 254 15n 0 15 ( )

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9.11 Dadas las sucesiones an a) lim an y lim bn
n→ n→

2n —— y bn n 5

n 3 ——, calcula: 5n 9

b) lim 5an y lim 7bn
n→ n→

c) lim (an · bn) y lim (an)bn
n→ n→

a) Formamos algunos términos de las sucesiones para hallar los límites. 1,33…; a100 1,9047…; a1000 2n Por tanto, lim 2 n→ n 5 b10 0,31…; b100 0,2097…;...