EjerciciosTema01curso1014sol

ETSII-UPM

Ejercicios y cuestiones del Tema 1:
Los espacios vectoriales Rn y Cn
Álgebra (Primer semestre, Plan 2010)
Madrid, 15-19 de septiembre de 2014

ETSII - Departamento de Matemática Aplicada
a la Ingeniería Industrial

Ejercicio 1-01
ETSII-UPM




Se consideran los vectores
de R3:
1. Determinar los valores del parámetro a para que sean linealmente
independientes.
2. Para a = 3, estudiarsi el vector
es combinación lineal de ellos.
Resolución:
1. La forma más sencilla de resolver este apartado es mediante el determinante.
Para que sean independientes el determinante deberá ser no nulo:

2. Para a=3 las columnas son linealmente dependientes. Basta tomar las dos
primeras, añadir el vector dado como tercera columna y volver a calcular el
determinante. Se ve que son linealmentedependientes:

Ejercicio 1-02
ETSII-UPM





Determinar los valores de los parámetros  y  que hacen que los tres vectores
sean linealmente independientes.
Resolución:
 Los vectores dados se disponen como columnas de una matriz. Con las dos primeras
filas, se calcula la combinación de las dos columnas que hace dependientes los vectores



que hacen

Para que sean independientes la condición es:Resolución 2
 Aplicando la eliminación de Gauss directamente se llega al mismo resultado,




Aplicando esta misma ley a las filas 3 y 4 se calculan los valores de
las columnas linealmente dependientes,

Ejercicio 1-03
ETSII-UPM


Comprobar la dependencia o independencia lineal de los vectores de C3



Resolución
 Una forma sencilla de saber si son independientes o no es disponer los tressectores como las columnas de una matriz y calcular su determinante,




La conclusión es que los tres vectores dados son linealmente dependientes.
Es muy interesante resolver este ejemplo mediante eliminación de Gauss

Ejercicio 1-04
ETSII-UPM


Determinar justificadamente cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios
vectoriales. Para aquellos que lo sean, encontrar una base.

Resolución
1. La condición es un “y” lógico, luego se deben cumplir ambas ecuaciones:

Para hallar una base hay que hallar dos soluciones independientes. Tomando
como variables libres:

2. Operando:
que representa los planos
No es subespacio vectorial.
3. Es un plano que no contiene al origen. No es subespacio vectorial.

Ejercicio 1-04 (cont.)
ETSII-UPM


Resolución (cont.)
4. Desarrollando elproducto vectorial

5.

6.

Sólo dos de estas tres ecuaciones son independientes (1ª+2·2ª=3ª). El
resultado es un subespacio formado por la intersección de dos planos, que es
una recta.
Geométricamente, un producto vectorial nulo entre dos vectores no nulos
indica que ambos vectores están alineados. Esto quiere decir que
es la base del subespacio dado.
La unión de dos subespacios sólo es un subespaciocuando uno de los
subespacios está contenido en el otro. En este caso
debería estar
contenido en
Para ver si es así, hay que comprobar el
rango de la matriz cuyas tres columnas son los tres vectores dados. Esto se
puede hacer de un modo sencillo calculando el determinante,

En este caso los tres vectores son independientes, luego no es subespacio.

Ejercicio 1-05
ETSII-UPM




En R4 seconsidera el subespacio L generado por los vectores
Se pide:
1. Comprobar que esos cuatro vectores son linealmente dependientes.
2. Hallar una base de L:
3. Construir una base de R4 extendiendo la base anterior con vectores cuyas tres primeras
componentes sean iguales a 2:
Resolución:

La tercera fila es combinación lineal de las dos primeras. La base de L está formada por las
filas 1, 2 y 4 de la matrizoriginal (o de la matriz reducida).
Eliminando la 3ª fila y añadiendo una 4ª con los tres primeros elementos “2”, se halla la
condición para el vector que permite obtener una base extendida,

Ejercicio 1-06
ETSII-UPM




Calcular las coordenadas del vector (a,b,c) de R3 respecto a la base
((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)).
Resolución
 Se expresa el vector dado como combinación lineal de los...