Ejrcicions De Análisis Matemático

Universidad Centroccidental "Lisandro Alvarado"
Decanato de Ciencias y Tecnolog¶³a
Licenciatura en Ciencias Matem¶aticas
An¶alisis Matem¶atico II
Informe
EJERCICIOS
Por: Emily A. V¶asquez
C.I 20.186.999
Barquisimeto, Octubre 2010
DEFINICIONES Y PROPIEDADES
A continuaci¶on, se presentan algunas de¯niciones y propiedades que son fundamen-
tales para la resoluci¶on de los problemaspautados.
Producto Interno:
Si V es un espacio vectorial, un producto interno en Ves una funci¶on que asigna
a cada par x; y de vectores de V, un n¶umero real denotado hx; yi tal que cumple las
siguientes propiedades para todo x; y; x en V y todo escalar c.
(1) hx; yi = hy; xi.
(2) hx + y; zi = hx; zi + hy; zi.
(3) hcx; yi = chx; yi = hx; cyi.
(4) hx; xi > 0 si x 6= 0.
A lo largo del trabajose har¶a referencia a las propiedades anteriores de la siguiente
forma: Propiedad (*) de h¤; ¤i
Norma:
Si V es un espacio con producto interno, uno de¯ne la longitud (o norma) de un
vector de V por la ecuaci¶on
kxk = hx; xi2:
La funci¶on norma tiene las siguientes propiedades:
(1) kxk > 0 si x 6= 0.
(2) kcxk = jcjkxk:
(3) kx + yk · kxk + kyk:
A lo largo del trabajo se har¶a referencia ala de¯nici¶on y propiedades de norma de
la siguiente manera: De¯nici¶on de k ¤ k y propiedad (¤) de k ¤ k respectivamente.
Cualquier funci¶on de V en R tal que satisface las propiedades (1); (2) y (3) anterio-
res, es llamada norma en V
1
La funci¶on longitud que se deriva de un producto interno es un ejemplo de una
norma, pero hay otras normas que no se derivan de productos internos. EnRn, por
ejemplo, no hay solo la familiar norma que se deriva de el producto punto, que es
llamada la norma euclideana, tambi¶en tiene la norma sup, que esta de¯nida por
la ecuaci¶on
kxksup = maxfjx1j; :::; jxnjg:
Norma para matrices:
Sea C una matriz n por m, con entrada general cij , se de¯ne la norma sup como:
kCk = maxfjcij j i = 1; :::; n y j = 1; ::;mg
M¶etrica en X:
Dado un conjuntoX, una m¶etrica en X es una funci¶on d : X £ X ! R tal que
cumple las siguientes propiedades para todo x; y; z 2 X :
(1) d(x; y) = d(y; x).
(2) d(x; y) ¸ 0, y la igualdad se cumple si y solo si x = y.
(3) d(x; z) · d(x; y) + d(y; z):
Si X es un espacio m¶etrico con m¶etrica d, entonces dado x0 2 X y dado ² > 0, el
conjunto U(x0; ²) = fxjd(x; x0) < ²g es llamado una ²¡vecindad de x0.
2
xSea V un espacio vectorial con producto interno hx; yi y norma kxk =
hx; xi1=2
(a) Demuestre la desigualdad de Chauchy-Schwarz hx; yi · kxkkyk:
(b) Demuestre que kx + yk · kxk + kyk:
(c) Demuestre que kx ¡ yk ¸ kxk ¡ kyk:
Demostraci¶on:
Sea V un espacio vectorial con producto interno hx; yi que induce la norma
kxk = hx; xi1=2, para todo x; y 2 V.
Parte (a) :
Caso I: x = 0 o y = 0.
si x= 0 entonces kxk = 0 y adem¶as hx; yi = 0. Luego hx; yi = 0 = kxkkyk.
Analogamente ocurre cuando y = 0 o ambos lo son simultaneamente.
Caso II: x 6= 0 y y 6= 0.
Consideremos el vector u = cx ¡ dy en V, con c; d 2 R arbitrarios.
Se tiene;
kuk2 = kcx ¡ dyk2
= hcx ¡ dy; cx ¡ dyi De¯nici¶on de k ¤ k.
= hcx; cxi + hcx;¡dyi + h¡dy; cxi + h¡dy;¡dyi Propiedad (2) de h¤; ¤i.
= c2hx; xi ¡ cdhx; yi¡ cdhy; xi + d2hy; yi Propiedad (3) de h¤; ¤i.
= c2hx; xi ¡ cdhx; yi ¡ cdhx; yi + d2hy; yi Propiedad (1) de h¤; ¤i.
= c2kxk2 ¡ cdhx; yi ¡ cdhx; yi + d2kyk2 De¯nici¶on de k ¤ k.
= c2kxk2 ¡ 2cdhx; yi + d2kyk2
Tomando c = 1
kxk
y d = 1
kyk
resulta de la igualdad anterior:
3
0 · kuk2 = kcx ¡ dyk2
= c2kxk2 ¡ 2cdhx; yi + d2kyk2
=
µ
1
kxk
¶2
kxk2 ¡
µ
2
kxkkyk
¶
hx; yi +
µ
1
kyk¶2
kyk2
= 1 ¡
2hx; yi
kxkkyk
+ 1
= 2 ¡
2hx; yi
kxkkyk
De este modo,
hx; yi · kxkjyk (I)¤
Por otro lado; sea w = cx + dy un vector en V con c; d 2 R arbitrarios, de
modo que kwk2 = kcx + dyk2 = c2kxk2 + 2cdhx; yi + d2kyk2.
(Esta igualdad se obtuvo utilizando las mismas propiedades que en el caso de
kuk2)
De la misma forma anterior denotemos las constantes c = 1
kxk
y d = 1
kyk...