El numero "e"

El número e
Convergencia de la sucesión [pic]

Damos aquí dos demostraciones de que la sucesión [pic] es creciente y acotada, y en consecuencia convergente.

Haremos uso de la siguienteigualdad bien conocida, la cual puede obtenerse, por ejemplo, mediante división de polinomios.

[pic] (1.0.1)

1. Primera demostración

Lema 1.1 [pic]

[pic] (1.1.2)

y la igualdadvale solo para. [pic]

Demostración: Reemplazando, se ve que para x = 1 vale la igualdad. Queremos ver que

[pic]
para todo [pic]

Pero, utilizando (1.0.1) tenemos,

[pic][pic]

Ahora, si, [pic] para todo [pic] y por lo tanto ambos términos del producto son positivos. Análogamente, si [pic] los dos términos son negativos.Corolario 1.1 La sucesión

[pic]

es estrictamente creciente.

Demostración: Tomando [pic] en la desigualdad (1.1.2) obtenemos

[pic]

y en consecuencia,
[pic]
como queríamos demostrar.Corolario 1.2 La sucesión

[pic]

es estrictamente creciente.

Demostración: Tomando ahora [pic] en la desigualdad (1.1.2)

[pic]
en consecuencia

[pic]
Corolario 1.3 La sucesión

[pic]es estrictamente decreciente.

Demostración: Se deduce del corolario anterior ya que [pic] En efecto,

[pic]

Teorema 1.1 La sucesión [pic] es convergente.

Demostración: Teniendo encuenta el Corolario 1.1, basta ver que la sucesión [pic] es acotada. Pero, es inmediato ver que:

[pic] [pic]

y, como [pic] es decreciente, resulta en particular que:

[pic]

2.Segunda demostración
3.
Damos ahora demostraciones alternativas de los resultados de los Corolarios 1.1 y 1.3 y en consecuencia del Teorema 1.1.
Lema 1.2 (Desigualdad de Bernoulli) [pic]valeque:

[pic]

con desigualdad estricta si[pic].

Demostración: Consideremos primero el caso [pic]. Usando (1.0.1) tenemos

[pic]

Pero como [pic], tenemos que [pic]para [pic] y por lo tanto...