el que sea

Teoremas sobre derivadas

 −1
1. f (x) =



si

x 0
x(4x2 + 2)2

√
( 3 x − 2) · 2 − 2x
2x
√
3. Dx √
=
3
x−2
( 3 x − 2)2
√
1
2 3 x − 4 − 23 x 3
√
=
( 3 x − 2)2
√
√
6 3 x − 12 − 2 3 x
√
=
3( 3 x − 2)2
√
4 3 x − 12
= √
con x = 8
3( 3 x − 2)2

2.1.6

1 −2
3
3x

Derivada de una funci´
on compuesta (Regla de la cadena)

Si consideramos las ecuaciones y= u3 , u = 5x2 + 8 entonces puede escribirse “y” como y = (5x2 + 8)3 .
En igual forma, si y =

√

u, u = 4x2 + 5x + 2 entonces puede expresarse “y” como y =

En general, si y = f (u), u = g(x) entonces y = f (g(x)).
Las ecuaciones anteriores dan en forma expl´ıcita las siguientes funciones:
f = {(u, y)/ y = f (u)}
g = {(x, u)/ u = g(x)}
h = {(x, y)/ y = f (g(x))}

√

4x2 + 5x + 2.23

24

Cap´ıtulo 2: Derivadas

La funci´on h para la cual h = f (g(x)) recibe el nombre de funci´on compuesta y se escribe h = (f og)(x) =
f (g(x)).
Observe que los elementos del dominio de h son los x que pertenecen al dominio de la funci´on g, tales que g(x)
pertenezca al dominio de f .
Ilustraremos lo anterior con el siguiente diagrama:

Figura 2.11: Dominio de una funci´oncompuesta

Otros ejemplos de funciones compuestas son:
1. h(x) =

√
3

6x − 4 = f (g(x)) donde f (x) =
2

2. h(x) = e3x

+1

√
3

x y g(x) = 6x − 4

= f (g(x)) donde f (x) = ex y g(x) = 3x2 + 1

Determinaremos ahora la derivada de una funci´on compuesta.
Teorema 1
Si la funci´on g = {(x, y)/ y = g(x)} es derivable sobre un intervalo S1 y si la funci´on f = {(u, y)/ y = f (u)}es derivable sobre un intervalo S2 tal que S2 = {g(x)/ x ∈ S2 }, entonces la funci´on compuesta
f (g) = {(x, y)/ y = f (g(x))} es derivable sobre S1 y Dx [f (g(x))] = f (g(x)) · g (x), para x ∈ S1 .
Esta f´ormula recibe el nombre de Regla de la Cadena.
Demostraci´on:
Al final del cap´ıtulo.

Ejemplo 1
1. Dx [f (3x2 + 1)] = f (3x2 + 1) · Dx (3x2 + 1) = f (3x2 + 1) · 6x
√
√
1
2. Dx [f (x)] = f ( x) · √ con x > 0
2 x
3. Dx [f

2
]=f
x

2
x

· Dx

2
x

=f

2
x

·

−2
x2

Derivada de una funci´on compuesta

25

Corolario:
Si la funci´on g = {(x, u)/ u = g(x)} es derivable sobre un intervalo S1 y si [g(x)]p y [g(x)]p−1 est´an definidas
para x ∈ S2 con S2 ⊆ S1 , (p ∈ Q), entonces la funci´on g k = {(x, y)/ y = [g(x)]p } es derivable sobre S2 yadem´as Dx [g(x)p ] = p(g(x))p−1 · Dx g(x), para x ∈ S2 .
Este teorema es una aplicaci´on inmediata de la regla de la cadena en la forma Dx y = Du y · Dx u con
y = up , u = g(x) y Du y = p · up−1 .

Ejemplo 2
1. Dx (5x + 3)4
En este caso u = 5x + 3 por lo que
Dx [(5x + 3)4 ]
= 4(5x + 3)3 · Dx (5x + 3)
= 4(5x + 3)3 · 5
= 20(5x + 3)3

2. Dx [(3x4 + 5x2 + 4)−2 ]
= −2(3x4 + 5x2 + 4)−3 · Dx (3x4+ 5x2 + 4)
= −2(3x4 + 5x2 + 4)−3 · (12x3 + 10x)
√
3. Dx 5x2 + 4
1

= Dx (5x2 + 4) 2
=

−1
1
· (5x2 + 4) 2 · (10x + 0)
2

=√

5x
5x2 + 4

√
4. Dx 4 6x4 + 7x2
1

= Dx (6x4 + 7x2 ) 4
=

−3
1
· (6x4 + 7x2 ) 4 · (24x3 + 14x)
4

26

Cap´ıtulo 2: Derivadas
=

12x3 + 7x
2 4 (6x4 + 7x2 )3

5. Dx

5x +

√

6x2 + 1

1
√

12x
· 5+ √
2 6x2 + 1
2 5x +
+1
√1
5 6x2 + 1 + 6x
√
·
√
6x2 + 1
2 5x + 6x2 + 1

=

6x2

Ejercicios:
Determine la derivada de las funciones con ecuaciones:
1.) f (x) = 6x3 + √

2.1.7

2x
x3 + 1

2.) f (x) =

5

5x2 + 1
2x

Diferenciales. Interpretaci´
on geom´
etrica

Incrementos
Estudiaremos este punto antes de definir el diferencial y dar su interpretaci´on geom´etrica.
f (x + h) − f (x)
, seutiliz´o h para se˜
nalar un
h→0
h
n´
umero distinto de cero tal que x + h pertenece al dominio de f .
Al dar la definici´on de la derivada de una funci´on f como el lim

Gr´aficamente se tiene la representaci´on de f y la recta tangente:

Figura 2.12: Gr´afica de f (x) y la recta tangente

32

Cap´ıtulo 2: Derivadas
Sea f (R) = y =

4 3
πR la ecuaci´on para el volumen de la...