el ser yo yo

´ gico de Costa Rica
Instituto Tecnolo
´ tica
Escuela de Matema
´ tica General
Matema

Tiempo: 2 horas, 15 minutos
Puntaje Total: 34 puntos
II Semestre 2004

´
SOLUCION
II Examen Parcial1. Resuelva las siguientes ecuaciones.
(a) x |x − 2| + 2 = x − x2
Soluci´
on
|x − 2| =

(4 pts.)
(x − 2)
si x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2
− (x − 2) = (2 − x) si x − 2 < 0 ⇔ x < 2

Caso 1: x ≥ 2; esdecir, x ∈ [2, +∞[
x |x − 2| + 2 = x − x2
x (x − 2) + 2 = x − x2
x2 − 2x + 2 = x − x2
x2 − 2x + 2 − x + x2 = 0
2x2 − 3x + 2 = 0
Para esta u
´ltima ecuaci´on, se tiene que ∆ = −7; de esta manera,2x2 − 3x + 2 = 0 no posee
soluciones reales en [2, +∞[ y, as´ı, S1 = ∅.
Caso 2: x < 2; es decir, x ∈ ]−∞, 2[
x |x − 2| + 2 = x − x2
x (2 − x) + 2 = x − x2
2x − x2 + 2 = x − x2
2x − x2 + 2 − x +x2 = 0
x+2=0
x = −2
Como x = −2 ∈ ]−∞, 2[ se tiene que S2 = {−2}.
De los casos 1 y 2 se concluye que S = S1 ∪ S2 = {−2}.
S = {−2}

(b) 3x −

√

4 − 5x = 2

(4 pts.)

Soluci´
on
3x −√

4 − 5x = 2
√
3x − 2 = 4 − 5x

(3x − 2)2 = 4 − 5x
9x2 − 12x + 4 = 4 − 5x
9x2 − 12x + 4 − 4 + 5x = 0
9x2 − 7x = 0
x (9x − 7) = 0
De la ecuaci´on anterior se tiene que x (9x − 7) = 0 ⇔x = 0 ∨ 9x − 7 = 0; es decir, si
7
x=0∨x= .
9
• Prueba para x = 0
3x −

√

4 − 5x = 2
√
?
3·0− 4−5·0=
2
√
?
2
0− 4−0=
√ ?
− 4=2
−2 = 2
Por lo que x = 0 no es soluci´on de laecuaci´on. • Prueba para x =
3x −
3·

√

4 − 5x = 2

7
−
9

4−5·

7
−
3

4−

7 ?
=2
9

35 ?
=2
9

7
1 ?
−
=2
3
9
7 1 ?
− =2
3 3
6
=2
3
Por lo que x =

7
essoluci´on de la ecuaci´on.
9

7
9

Con base en las pruebas realizadas, se concluye que S =

S=

7
9

7
.
9

2. Se quiere obtener un rect´angulo en el primer cuadrante con sus ladosparalelos a los ejes
x
coordenados y uno de sus v´ertices sobre la recta y = 3 − , como se muestra en la siguiente
2
figura.
Y

3

6

X

¿Qu´e dimensiones debe tener el rect´angulo para que...