Electro
Páginas: 26 (6260 palabras)
Publicado: 20 de octubre de 2010
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ing. Jorge J. L. Ferrante
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
UNIDAD DOCENTE BÁSICA MATEMÁTICA
CÁTEDRA CÁLCULO NUMÉRICO
2010
I INTRODUCCION
1 Se presentan en estas páginas distintos métodos de solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales, en adelante SEL, de múltiples aplicaciones en laingeniería y en otras disciplinas.
2 La hipótesis de linealidad de muy importante y extendida aplicación lleva en forma casi inexorable a modelos matemáticos constituidos por SEL; la aplicación de diferencias finitas para aproximar la solución de determinados tipos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales también exige sea resuelto un SEL, eventualmente de grandes o muy grandesdimensiones; en economía la matriz insumo producto está íntimamente ligada con este tema y, explorando un poco más seguramente se encuentran otras aplicaciones.
3 Sin ninguna duda, el desarrollo de los métodos de cálculo ha permitido afrontar la solución de SEL de grandes o muy grandes dimensiones -varios miles de incógnitas- permitiendo incursionar en campos donde era materialmente imposible hacerlopor cálculo manual. Téngase presente que siendo imperiosa la necesidad de resolver grandes SEL antes del advenimiento de las computadoras, mucho esfuerzo se hizo para determinar el tiempo necesario para resolver un SEL de orden "n".
4 La aplicación a estos esfuerzos a uno de los métodos más conocidos de solución de SEL -el método de Gauss- da una estimación de kn3 en horas para resolverlo. Lostextos dan para k un valor aproximado de 0.01, lo que indica que, con calculadora un operador tarda 0.01*27 horas para resolver un sistema de 3x3 ( 15 a 20 minutos según su habilidad, pero 0.01*1000 para resolver un sistema de 10x10 ¡10 horas de trabajo!). Además debe tenerse en cuenta que, cuanto más grande es el SEL más peligrosos se vuelven los errores y su propagación a través del algoritmoen uso, para no hablar de los siempre posibles errores humanos.
5 El trabajo sigue los lineamientos clásicos. Por un lado los métodos llamados "exactos" no por la exactitud de los resultados que brindan sino porque, "a priori" puede determinarse el número de operaciones necesarias para obtenerlos y, por otro, los llamados "aproximados" que suelen dar mejores resultados que los exactos, peroque no permiten determinar el número de operaciones necesarias para obtenerlos con una precisión preestablecida.
6 En todo lo que sigue se supondrá que el SEL en estudio tiene una solución única. En consecuencia sólo se trabajará con SEL cuya matriz cuadrada de números reales, sea no singular.
II METODOS EXACTOS
7 Se denominan métodos exactos los métodos que permiten determinar a priori elnúmero de operaciones -productos, cocientes, adiciones, sustracciones- necesarias para alcanzar la solución buscada.
8 Entre ellos, el más estudiado es el denominado Método de Gauss.
II.1 Metodo de Gauss
9 Sea el SEL
A X = B
donde A es una matriz no singular de nxn, X es el vector de incógnitas de n elementos y B es el vector de términos independientes de n elementos.
10 Enforma expandida el SEL tiene este aspecto
[pic]
(VEAMOS LAS IGUALDADES NUMÉRICAS QUE SE DEDUCEN DE ESTA IGUALDAD MATRICIAL UTILIZANDO LAS DEFINICIONES CORRESPONDIENTES)
(DEFINIR SEL EQUIVALENTES)
11 El método consiste en transformar la matriz A y concurrentemente el vector B hasta obtener un SEL equivalente (con la misma solución) que sea triangular superior. Es decir, obtener un SELequivalente de este aspecto.
[pic]
12 Llegado a este punto, es fácil obtener xn, calculando
[pic]
con este valor en la penúltima ecuación se puede obtener xn-1 despejandolo de
[pic]
[pic]
con estos dos valores se puede obtener xn-2, luego xn-3 y asi sucesivamente hasta obtener x1
13 Queda entonces planteado el problema: ¿cómo se reduce la matriz A y concurrentemente el vector...
FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ing. Jorge J. L. Ferrante
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
UNIDAD DOCENTE BÁSICA MATEMÁTICA
CÁTEDRA CÁLCULO NUMÉRICO
2010
I INTRODUCCION
1 Se presentan en estas páginas distintos métodos de solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales, en adelante SEL, de múltiples aplicaciones en laingeniería y en otras disciplinas.
2 La hipótesis de linealidad de muy importante y extendida aplicación lleva en forma casi inexorable a modelos matemáticos constituidos por SEL; la aplicación de diferencias finitas para aproximar la solución de determinados tipos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales también exige sea resuelto un SEL, eventualmente de grandes o muy grandesdimensiones; en economía la matriz insumo producto está íntimamente ligada con este tema y, explorando un poco más seguramente se encuentran otras aplicaciones.
3 Sin ninguna duda, el desarrollo de los métodos de cálculo ha permitido afrontar la solución de SEL de grandes o muy grandes dimensiones -varios miles de incógnitas- permitiendo incursionar en campos donde era materialmente imposible hacerlopor cálculo manual. Téngase presente que siendo imperiosa la necesidad de resolver grandes SEL antes del advenimiento de las computadoras, mucho esfuerzo se hizo para determinar el tiempo necesario para resolver un SEL de orden "n".
4 La aplicación a estos esfuerzos a uno de los métodos más conocidos de solución de SEL -el método de Gauss- da una estimación de kn3 en horas para resolverlo. Lostextos dan para k un valor aproximado de 0.01, lo que indica que, con calculadora un operador tarda 0.01*27 horas para resolver un sistema de 3x3 ( 15 a 20 minutos según su habilidad, pero 0.01*1000 para resolver un sistema de 10x10 ¡10 horas de trabajo!). Además debe tenerse en cuenta que, cuanto más grande es el SEL más peligrosos se vuelven los errores y su propagación a través del algoritmoen uso, para no hablar de los siempre posibles errores humanos.
5 El trabajo sigue los lineamientos clásicos. Por un lado los métodos llamados "exactos" no por la exactitud de los resultados que brindan sino porque, "a priori" puede determinarse el número de operaciones necesarias para obtenerlos y, por otro, los llamados "aproximados" que suelen dar mejores resultados que los exactos, peroque no permiten determinar el número de operaciones necesarias para obtenerlos con una precisión preestablecida.
6 En todo lo que sigue se supondrá que el SEL en estudio tiene una solución única. En consecuencia sólo se trabajará con SEL cuya matriz cuadrada de números reales, sea no singular.
II METODOS EXACTOS
7 Se denominan métodos exactos los métodos que permiten determinar a priori elnúmero de operaciones -productos, cocientes, adiciones, sustracciones- necesarias para alcanzar la solución buscada.
8 Entre ellos, el más estudiado es el denominado Método de Gauss.
II.1 Metodo de Gauss
9 Sea el SEL
A X = B
donde A es una matriz no singular de nxn, X es el vector de incógnitas de n elementos y B es el vector de términos independientes de n elementos.
10 Enforma expandida el SEL tiene este aspecto
[pic]
(VEAMOS LAS IGUALDADES NUMÉRICAS QUE SE DEDUCEN DE ESTA IGUALDAD MATRICIAL UTILIZANDO LAS DEFINICIONES CORRESPONDIENTES)
(DEFINIR SEL EQUIVALENTES)
11 El método consiste en transformar la matriz A y concurrentemente el vector B hasta obtener un SEL equivalente (con la misma solución) que sea triangular superior. Es decir, obtener un SELequivalente de este aspecto.
[pic]
12 Llegado a este punto, es fácil obtener xn, calculando
[pic]
con este valor en la penúltima ecuación se puede obtener xn-1 despejandolo de
[pic]
[pic]
con estos dos valores se puede obtener xn-2, luego xn-3 y asi sucesivamente hasta obtener x1
13 Queda entonces planteado el problema: ¿cómo se reduce la matriz A y concurrentemente el vector...
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