Electromecanico

Prefacio
Este texto surgi´o de la necesidad de presentar una visi´on unificada de los
m´etodos elementales de integraci´on num´erica de funciones y de algunos de los que
son ´utiles para las ecuaciones diferenciales ordinarias.
| Los p´arrafos que se colocan entre tr´eboles pueden ser omitidos en las primeras
lecturas puesto que no son esenciales para la continuidad del texto. |
Seguimos ent´erminos generales las ideas planteadas en Linz (1988). Para este
autor el t´ermino matem´atica computacional esta asociado con el espectro amplio
de actividades relacionadas con la soluci´on aproximada de problemas cient´ıficos
expresados en t´erminos de modelos matem´aticos, que, en su forma t´ıpica, est´an
constituidos por ecuaciones diferenciales e integrales de las que, en general, nose
conoce soluci´on en forma cerrada. Para resolverlos las ecuaciones son convertidas,
mediante discretizaci´on, en un conjunto finito de ecuaciones m´as simples que puedan
ser resueltas por m´etodos algebraicos.
Se puede distinguir la metodolog´ıa num´erica, que estudia m´etodos para discretizar
los operadores diferenciales e integrales y c´omo resolver los sistemas finitos
resultantes, delan´alisis num´erico que involucra el estudio riguroso de los algoritmos
creados por la metodolog´ıa.
La meta primaria del an´alisis es describir la relaci´on entre la soluci´on exacta
de la ecuaci´on original, y la aproximada obtenida a partir de la versi´on discreta.
El an´alisis num´erico ha resultado muy ´util para complementar el proceso de
creaci´on de m´etodos num´ericos generado porlas aplicaciones ingenieriles. Por ejemplo
las t´ecnicas de relajaci´on o de elementos finitos fueron creadas por ingenieros
basados en la intuici´on f´ısica. El an´alisis num´erico posterior ha resultado crucial
para la consolidaci´on de estos m´etodos, la extensi´on de su aplicabilidad, y el estudio
de sus propiedades de convergencia o estabilidad.
En muchos casos a partir de objetivos delAn´alisis Num´erico se han obtenido
nuevos resultados en An´alisis Funcional, en cuyos t´erminos suelen plantearse los
problemas.
Seg´un resume Linz (1988): En art´ıculos publicados en revistas como el SIAM
Journal on Numerical Analysis o Numerische Mathematik se encuentran habitualmente
t´erminos como espacios de Hilbert, clausura compacta, y convergencia d´ebil.
Estos conceptos le resultanmuy ´utiles al te´orico y han facilitado el establecimiento
de una teor´ıa abarcativa y coherente de la soluci´on aproximada de las ecuaciones
de operadores.
| Ilustraremos esto con el ejemplo de la ecuaci´on del operador lineal
Lx = y (0.1)
Las referencias se enumeran en el ap´endice A, p´agina 35
xiii
xiv PREFACIO
donde L: X ! Y es un operador lineal entre los espacios normados X e Y .El
miembro derecho, y, es un dato y la ecuaci´on debe ser resuelta para la inc´ognita x.
Suponemos que L tiene una inversa acotada en Y . Un ejemplo muy simple de esto
es la ecuaci´on
d
dt
x(t) = y(t) = f(t, x(t)) (0.2)
con la condici´on inicial
x(t0) = x0 (0.3)
En el proceso de discretizaci´on la ecuaci´on (0.1) es reemplazada por una sucesi
´on param´etrica de problemas
Lnxn = yn(0.4)
donde Ln es un operador en ciertos espacios n–dimensionales Xn e Yn. El s´ımbolo
n se denomina par´ametro de discretizaci´on y mide el grado en el que el operador
discreto Ln representa al operador L.
Como Ln es efectivamente una matriz de n×n, es posible, en principio, resolver
(0.4) en forma algebraica y obtener la soluci´on aproximada xn.
El objetivo fundamental del an´alisis posteriores conocer la relaci´on entre la
soluci´on verdadera x y su aproximaci´on xn. En particular, desearemos demostrar
la convergencia. Esto significa que, cuando se incrementa n, la soluci´on aproximada
deber´a acercarse m´as y m´as a la soluci´on verdadera, en el sentido que
lim
n!1
kx − xnk = 0 (0.5)
Usualmente, el primer paso del an´alisis es definir el error de consistencia
rn(x) = Lx −...