Electronica

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GIRALDO, SANCHEZ, Matem´ticas Avanzadas, 40541, Tarea 3
a

4 Mar 2014

NUMEROS COMPLEJOS, FUNCIONES, L´
IMITES, CONTINUIDAD, DERIVADAS E INTEGRALES
´
Diego GIRALDO y Cristian SANCHEZ
Universidad Pontificia Bolivariana, Cir. 1 #70-01, Medell´ Colombia.
ın,
Resumen: El siguiente art´
ıculo es el desarrollo los ejercicios ´lgebra lineal propuestos en
a
la tarea 3, del curso dematem´ticas avanzadas. Copyright R 2014 UPB
a
Abstract: The following article is the development of linear algebra exercises proposed in
Task 3, advanced mathematics course.
Keywords: Complex variable.

´
INTRODUCCION

DESARROLLO EJERCICIOS PROPUESTOS

El algebra lineal estudia todos los arreglos en forma matricial,
´
define sus operaciones, propiedades y caracter´
ısticas. El presente art´ıculo se encaga de desarrollar algunos ejercicios que
incluyen las principales tem´ticas del ´lgebra lineal desde la
a
a
soluci´n de sistemas de ecuaciones, pasando por matrices ino
versas, espacios vectoriales sus bases y conjuntos generadores,
transformaciones lineales, valores y vectores propios de una
matriz.

1. Para el siguiente sistema de ecuaciones, determine los
valores de a yb para que: i ) el sistema tenga una soluci´n
o
unica; ii ) el sistema no tenga soluci´n iii ) el sistema tenga
´
o
soluciones infinitas.

Especializaci´n en Autom´tica.
o
a

Universidad Pontificia Bolivariana

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GIRALDO, SANCHEZ, Matem´ticas Avanzadas, 40541, Tarea 3
a

4 Mar 2014

1
0
0

x+y+z =1
ax + 2y + z = 2
x + ay + az = b + 2

1
2−a
a−1

1
0
0

1 1
2 1A=
a a
x
X= y
z
1
2
b=
b+2

1
2
b+2

1
0
1

1
−1
1

1
0
0

(3)

de la fila 2 de la matriz (3) se tiene que −z = 0, reemplazando
este valor en la ecuaci´n de la fila 3 se tiene que y + z = 0 de
o
donde y = 0.
Reemplazando los valores de y, z en la ecuaci´n de la fila 1,
o
x+y+z = 1 se obtiene x = 1, as´ la soluci´n unica del sistema:
ı
o ´

La matriz aumentada delsistema de ecuaciones [A|b]:
1
1
a

(2)

Para que el sistema tenga soluci´n unica se tiene a = 2 y
o ´
b = −1 y as´ la matriz (2) es:
ı

1
a
1

1
2
a

1
2−a
b+1

i)

El sistema anterior se puede escribir de la forma AX = b,
donde A es la matriz de coeficientes, X es el vector de incognitas y b es el vector de t´rminos independientes:
e

1
a
1

1
1−a
a−1

1
21

(1)

1
2
2

1
1
2

x
y
z

X=

1
0
0

=

1
2
1

es el vector:
Para tener un sistema m´s sencillo de estudiar, realizamos
a
sobre la matriz (1) las operaciones elementales fila F2 − aF1 y
F3 − F1 obteniendo lo siguiente:
Especializaci´n en Autom´tica.
o
a

Universidad Pontificia Bolivariana

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GIRALDO, SANCHEZ, Matem´ticas Avanzadas, 40541, Tarea 3
a

4Mar 2014

ii)
Para que el sistema no tenga soluci´n, en la matriz (2) haceo
mos a = 1 y b = −1 y se obtiene un sistema as´
ı:
1
0
0

1
1
0

1
0
0

1
1
b+1

(4)

De la ultima fila de la matriz (4) se tiene que 0 = b + 1, ∀ b =
−1, se desprende que no existe un vector X que cumpla la
condici´n y el sistema no tiene soluci´n.
o
o
iii)
Para que el sistema tenga infinitassoluciones hacemos a = 1
y b = −1, obteniendo el siguiente sistema:
1
0
0

1
1
0

1
0
0

1
1
0

(5)

De la fila 2 de la matriz (5) se tiene la ecuaci´n y = 1,
o
reemplazando en la ecuaci´n obtenida de la fila 1, x+1+z = 1
o
de donde se tiene que x = −z. se obtienen infinitas soluciones
de la forma:
x
y
z

=

x
1
−x

x=t

=

Especializaci´n en Autom´tica.
o
a0
1
0

+t

1
0
−1

2. Encuentre la inversa de la
diferentes:
3
A = −1
−3

∀t ∈ R.

2 −1
2 3
1 3

i. Operaciones elementales fila
Se amplia la matriz A con la matriz I3 y aplicando operaciones
elementales fila se pasa de [A|I3 ] a I3 |A−1 :

3
−1
−3

2 −1
2 3
1 3

1
0
0

0
1
0

→

0
0
1

3
−1
0

F3 +F1

2 −1
2 3
3 2

1
−1
0

2/
3
2
3...