Equilibrio

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación

DIFERENCIAS FINITAS

El método de e las diferencias finitas sirve para aproximar la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, las cuales van por lo general acompañadas de
condiciones iniciales o de frontera.
Mediante un proceso de discretización,el conjunto infinito de números que representan la
función o funciones incógnitas en el continuo, es reemplazado por un número finito de
parámetros incógnita, y este proceso requiere alguna forma de aproximación.

Entre las formas de discretización esta: el método de los elementos finitos, método de volúmenes
finitos, método de diferencias finitas (1-D, 2-D, 3-D, 4-D), etc.

1DIFERENCIASFINITAS EN 1-D (UNIDIMENSIONAL)

Si deseamos determinar la función ݂(‫ )ݔ‬que satisface una ecuación diferencial en un dominio
determinado, junto a condiciones de iniciales del problema. Se tiene que empezar por
diferenciar la variable independiente ‫ ,ݔ‬para después construir una grilla o malla, con puntos
discretos igualmente espaciados, sobre el dominio establecido. Después se debe reemplazaraquellos términos en la ecuación diferencial que involucren diferenciación por términos que
contengan operaciones algebraicas. Este proceso trae implícito una aproximación y puede
efectuarse mediante la utilización de aproximación en diferencias finitas para las derivadas en
una función.
Aproximaciones de derivadas mediante diferencias finitas (o formulas de discretización)

Aproximaciónen diferencias hacia adelante o forward difference de la primera derivada de
una función:

‫ܨ‬ó‫ ݂ :ܽ݀ܽݖ݊ܽݒܣ ݁݀ ݈ܽݑ݉ݎ‬ᇱ (‫≈ ) ݔ‬

݂ (‫ + ݔ‬ℎ) − ݂(‫)ݔ‬
ℎ

ℎ
ℎ
‫ = ܧ :ݎ݋ݎݎܧ‬ฬ ݂ ᇱᇱ (ߦ )ฬ ≤ ‫ܯ‬ଵ , ܿ‫ܯ ݊݋‬ଵ = max |݂ ᇱᇱ (‫|) ݔ‬
௔ஸ௫ஸ௕
2
2

Aproximación en diferencias hacia atrás o backward difference de la primera derivada de
una función:

‫ܨ‬ó‫ ݂ :ܽݒ݅ݏ݁ݎܴ݃݁ ݈ܽݑ݉ݎ‬ᇱ (‫≈ ) ݔ‬

݂ (‫ −ݔ(݂ − )ݔ‬ℎ)
ℎ

ℎ
ℎ
‫ = ܧ :ݎ݋ݎݎܧ‬ฬ ݂ ᇱᇱ (ߟ )ฬ ≤ ‫ܯ‬ଵ , ܿ‫ܯ ݊݋‬ଵ = max |݂ ᇱᇱ (‫|) ݔ‬
௔ஸ௫ஸ௕
2
2

Aproximación de diferencia central o central difference de la primera derivada de una
función:

‫ܨ‬ó‫ ݂ :ܽ݀ܽݎݐ݊݁ܥ ݈ܽݑ݉ݎ‬ᇱ (‫≈ ) ݔ‬

݂ (‫ + ݔ‬ℎ) − ݂(‫ − ݔ‬ℎ)
2ℎ

ℎଶ ᇱᇱ
ℎଶ
(ߴ)ቤ ≤ ‫ܯ‬ଶ , ܿ‫ܯ ݊݋‬ଶ = max |݂ ᇱᇱᇱ (‫|) ݔ‬
‫ = ܧ :ݎ݋ݎݎܧ‬ቤ ݂ ′
௔ஸ௫ஸ௕
6
6
Aproximación a la segunda derivada de unafunción:

‫ܨ‬ó‫ ݂ :ܽ݀ܽݒ݅ݎ݁݀ ܽ݀݊ݑ݃݁ݏ ݈ܽݑ݉ݎ‬ᇱᇱ (‫≈ ) ݔ‬

݂ (‫ + ݔ‬ℎ) − 2݂(‫ − ݔ(݂ + )ݔ‬ℎ)
ℎଶ

ℎଶ
ℎଶ
‫ܯ ݊݋ܿ , ܯ‬ଷ = max |݂ ௜௩ (‫|)ݔ‬
‫ = ܧ :ݎ݋ݎݎܧ‬ቤ ݂ ௜௩ (ߦ )ቤ ≤
௔ஸ௫ஸ௕
12
12 ଷ
Demostraciones:

Diferencias hacia adelante:

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el segundo orden:
݂(‫ + ݔ‬ℎ) = ݂ (‫ + )ݔ‬ℎ݂ ᇱ (‫+ )ݔ‬

ℎଶ ᇱᇱ
݂ (ߦ)
2

݂(‫ + ݔ‬ℎ) − ݂(‫ ) ݔ‬ℎ ᇱᇱ− ݂ (ߦ) = ݂ ᇱ (‫)ݔ‬
2
ℎ

݂ ᇱ (‫≈ ) ݔ‬

݂ (‫ + ݔ‬ℎ) − ݂(‫)ݔ‬
ℎ
, ‫ = ܧ‬ฬ ݂ ᇱᇱ (ߦ )ฬ
ℎ
2

Diferencias hacia atrás:

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el segundo orden:

݂(‫ − ݔ‬ℎ) = ݂ (‫ − )ݔ‬ℎ݂ ᇱ (‫+ )ݔ‬

ℎଶ ᇱᇱ
݂ (ߟ)
2

݂(‫ − ݔ( ݂ − ) ݔ‬ℎ) ℎ ᇱᇱ
+ ݂ (ߟ) = ݂ ᇱ (‫)ݔ‬
ℎ
2
݂ ᇱ (‫≈ )ݔ‬

݂(‫ − ݔ(݂ − ) ݔ‬ℎ)
ℎ
, ‫ = ܧ‬ฬ ݂ ᇱᇱ (ߟ )ฬ
ℎ
2

Diferenciacentral:

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el tercer orden, para ‫ + ݔ‬ℎ y ‫ − ݔ‬ℎ:

ℎଶ ᇱᇱ
ℎଷ
݂ (‫ ݂ + )ݔ‬ᇱᇱᇱ (ߦ )
2
6
ℎଶ ᇱᇱ
ℎଷ ᇱᇱᇱ
(2) ݂(‫ − ݔ‬ℎ) = ݂(‫ − )ݔ‬ℎ݂ ᇱ (‫) ߟ( ݂ − )ݔ( ݂ + ) ݔ‬
2
6
(1) ݂(‫ + ݔ‬ℎ) = ݂(‫ + )ݔ‬ℎ݂ ᇱ (‫+ ) ݔ‬

Si restamos (1)-(2), se obtiene:

ℎଷ ᇱᇱᇱ
݂(‫ + ݔ‬ℎ) − ݂(‫ − ݔ‬ℎ) = 2ℎ݂ ‫ + )ݔ‬൫݂ (ߦ ) + ݂ ᇱᇱᇱ (ߟ )൯
6
ᇱ(

݂(‫ + ݔ‬ℎ) − ݂(‫− ݔ‬ℎ) ℎଶ ᇱᇱᇱ
− ݂ (ߴ) = ݂ ᇱ (‫)ݔ‬
2ℎ
6
݂ ᇱ (‫≈ ) ݔ‬

݂ (‫ + ݔ‬ℎ) − ݂(‫ − ݔ‬ℎ)
,
2ℎ

ℎଶ
‫ = ܧ‬ቤ ݂ ᇱᇱ ′(ߴ)ቤ
6

Diferencia para la segunda derivada:

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el tercer orden, para ‫ + ݔ‬ℎ y ‫ − ݔ‬ℎ:

ℎଶ ᇱᇱ
ℎଷ
ℎସ
݂ (‫ ݂ + )ݔ‬ᇱᇱᇱ (‫ ݂ + )ݔ‬௜௩ (ߦ)
2
6
24
ℎଶ ᇱᇱ
ℎଷ ᇱᇱᇱ
ℎସ
(2) ݂(‫ − ݔ‬ℎ) = ݂(‫ − )ݔ‬ℎ݂ ᇱ (‫ ݂ + )ݔ( ݂ − )ݔ(...