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Circuitos de Segundo Orden
IEM – 212 - 002
Enero 2014

Luis Francisco

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Introducción
• Un circuito de segundo orden contiene resistencias y
el equivalente de dos elementos que almacenan
energía (LC) → RLC.

• Los circuitos RLC son muy comunes en la práctica:
–
–
–
–

Comunicaciones, Amplificadores.
Filtros electrónicos.
Supresión de armónicos.
Etc..

2

Introducción• Para modelar sistemas mecánicos,
electromecánicos, hidráulicos, etc.
– Sistema de suspensión de un automóvil.
– comportamiento sistema de control de temperatura
– Etc…

• Está constituido por una ecuación diferencial que
incluye una derivada de segundo orden, o dos
ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

3

Introducción
• Se requieren dos condiciones iniciales pararesolver la ecuación diferencial de segundo
orden.
• Las condiciones iniciales se obtienen por
medio de analizar el circuito.

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Ejemplos de Circuitos RLC

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Repaso: Condiciones Iniciales
• Los valores iniciales de voltaje en un capacitor y de
corriente en un inductor se pueden determinar
analizando el circuito usando las siguientes
propiedades de continuidad:
– El voltaje en elcapacitor no puede cambiar de forma
brusca, es siempre continuo:
+

−

vc (0 ) = vc (0 )

– La corriente en la bobina no puede cambiar de forma
brusca, es siempre continua:
+

−

iL (0 ) = iL (0 )
6

Repaso: Condiciones Iniciales
• Las derivadas iniciales del voltaje en el
capacitor y la corriente en la bobina se
pueden determinar de los valores de voltaje y
corriente usandola relación de i-v para L Y C.
ic

C
+ vc

iL

L

+ vL

-

dvc
ic = C
dt

dvc (0 )
+
= ic (0 )
C
dt

diL
vL = L
dt

diL (0+ )
+
L
= vL (0 )
dt

+

7

Repaso: Condiciones Finales
• Los valores finales de voltaje v(∞) y corriente i(∞) se
obtienen del análisis del circuito utilizando las
siguientes propiedades de estado estable.
– El capacitor se comportacomo un circuito abierto:
+

+
vc

ic

vc
-

-

– La bobina se comporta como un corto circuito:
iL

iL

L
+ vL

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Repaso: Ejemplo Condiciones Iniciales
y Finales
• El switch del circuito ha estado cerrado por un
largo tiempo y se abre en t = 0. Encontrar:
a) i(0+) y v(0+)
b) di(0+) /dt y dv(0+) /dt
c) i(∞) y v(∞)

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Solución:
• a)t=0- , el switch esta cerrado:10

Solución:
• b)t=0+ , el switch esta abierto:

11

Solución:
• c)Para t>0 el circuito esta en el estado estable:

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Función Escalón Unitario
u(t)
• Nula para todos los valores de tiempo menores que
cero. → u (0− ) = 0
• Igual a la unidad para todos los valores de t mayores
+
o igual que cero. → u (0 ) = 1
u(t)

1

t

13

Función Escalón Unitario Desplazadau(t-to)
• Nula para todos los valores de tiempo
menores que to.
• Igual a la unidad para todos los valores de t
mayores o igual que to.
u(t)

1

to

t
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Función Escalón Unitario
u(t)
• Es una función adimensional, para representar una
fuente de voltaje o corriente con ella hay que
multiplicarla por un valor de voltaje o corriente
constante.
+
-

v(t) = 12u(t) V

i(t-2) =2u(t-2)A

v(t)

i(t)

12

2
t

2

t

15

Repaso: Ejemplo Condiciones Iniciales
y Finales
• Encontrar:
a) iL(0+), vc(0+) y vR(0+)
b) diL(0+) /dt y dvc(0+) /dt
c) iL(∞), vc(∞) y vR(∞)

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Solución:
• a) Para t0, 3u(t)=3A, entonces por la continuidad del
voltaje y la corriente en C y L:
• Aplicando LKC en el nodo a:

• Y LKV en la malla del centro:

• Finalmentesustituyendo (a) en (b):
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Solución:
Si hacemos una LKV en la malla de la derecha:

Aplicando LKV en el nodo b:

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Solución:
• Si t→∞ el circuito alcanza su estado estable:

20

Circuito RLC sin Fuente:
Respuesta Natural
• La respuesta natural también se conoce como
respuesta transitoria.
• Es la forma en que el circuito responde a la energía
almacenada en L y C sin...