Ermaiki

FMA II

Curso 2012-13

Cuestiones teóricas de diagonalización de endomorfismos
1) De un endomorfismo f de
P3 ( λ ) = −λ + λ − λ + 6 .
3 2 3

( )

se sabe que su polinomiocaracterístico es:

Halle, razonadamente, el determinante de la matriz asociada al endomorfismo f en la base canónica. ¿Cambia el valor del determinante si la matriz de f estuviera asociada aotra base?. Razone la respuesta. (Solución: 6. No cambia). 2) De un endomorfismo f de
3

( )

se sabe de su polinomio característico que

P3 ( 0 ) = 12. Por otro lado la matriz asociadaa f en una base dada B tiene todos los

elementos de la diagonal principal iguales a la unidad y la suma de los elementos de cada fila es constante y vale -1. Halle razonadamente losvalores propios de f . (Solución:-2, -1, 6) 3) De un endomorfismo f de
3

( )

se sabe que tiene un solo valor propio, el cual no

es nulo. ¿Podemos asegurar que la matriz asociada a f enuna base dada B es regular?. Razone la respuesta analizando los distintos casos en los que las soluciones de la ec. característica conducen a esta situación. (Solución: Sí) 4) De unendomorfismo f de
3

( )

se sabe que su polinomio característico tiene tres

raíces distintas. ¿Significa esto que es diagonalizable?. Fundamente la respuesta. 5) De un endomorfismo f de
3( )

se sabe que su polinomio característico tiene tres

raíces reales distintas y no nulas. Sea A la matriz del endomorfismo respecto de la base canónica cuyo determinante coincidecon uno de los valores propios. ¿Cuál es la relación entre los otros dos valores propios?. (Solución: una inversa de la otra). 6) De un endomorfismo f de
2

( )

se sabe de su polinomiocaracterístico que su

término independiente es 10 y que la traza de una matriz, asociada a dicho endomorfismo en una base dada, es 7. Halle sus valores propios. (Solución: 2 y 5).