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Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y CC

Autores:

Miguel Martínez Concha
Carlos Silva Cornejo
Emilio Villalobos Marín

Funciones Vectoriales y Curvas
Ejercicios resueltos
1.1 Ejercicio 1
Un par de trayectorias de [0; 1) en R3 se de…nen por !(t) = (cos t; sin t; bt)
c
y !(t) = (1; 0; t). Responda las siguientes preguntas:
r
a) ¿Seintersectan las curvas generadas por !(t) y !(t)?
c
r
b) Si estas trayectorias representan el desplazamiento de un par de partículas.
¿En que puntos ,si los hay, estas partículas se encuentran?
Solución:
a) !(t) es la ecuación de la hélice ascendente sobre el manto del cilindro
c
2
x + y 2 = 1 y cada vuelta demora 2 unidades de tiempo. Asimismo,
!(t) = (1; 0; t) es una recta verticalparalela al eje axial del cilindro , que
r
esta sobre el manto de x2 + y 2 = 1 y pasa por (1; 0; 0).
Igualando las primeras componentes cost = 1 ,obtenemos que las curvas se
intersectan para t = 0; 2 ; 4 ; : : :
b) Igualando las terceras componentes bt = t =) Si b = 1;entonces las
partículas se encuentran en los
puntos (1; 0; 0); (1; 0; 2 ); :::; (1; 0; 2n ) con n 2 Z+ .
0
1.2 Ejercicio 2
Lacurva C es de…nida a partir de la trayectoria !(t) = (2 cos(t); 2 sin(t); t)
c
con 0
t
2 . Describa la representación grá…ca de C y pruebe que si se
usa como parametro la longitud de arco s , el vector tangente a la curva es un
vector unitario.
Solución:
Por la continuidad de las funciones x(t) = 2cos(t); y (t) = 2sin(t) y z (t) = t
!(0) = (x(0); y (0); z (0)) = (2; 0; 0)
podemos inferirque C parte del punto
c
!(2 ) = (x(2 ); y (2 ); z (2 )) = (2; 0; 2 ); además que la curva se
y terminaen c
asciende a través del manto del cilindro x2 + y 2 = 4 porque [x(t)]2 + [y (t)]2 =
[2 cos(t)]2 + [2 sin(t)]2 = 4 como se ilustra en la …gura
El vector posición de esta curva es !(t) = (2cos(t); 2sin(t); t). El vector
c
tangente es !0 (t) = ( 2 sin(t); 2 cos(t); 1) D(a)
c
y la longituddel vector tangente es
p
p
k!0 (t)k = [ 2 sin(t)]2 + [2 cos(t)]2 + 1 = 5 (b)
c
1

La longitud total de esta curva es
Z2
Z
Longitud =
k!0 (t)k dt =
c
0

2

p

5dt = 2

p

5

0

Rt
De…nimos s(t) = 0 kc0 (u)k du para t 2 [0; 2 ] =) s(t) es la longitud de
curva C desde (2; 0; 0) hasta (x(t); y (t); z (t)):
Claramente s(t) es continua y estrictamente creciente en [0; 2 ]la ecuación
s = s(t) puede resolverse para t como una función de s, es decir t = t(s) (c)
s
En este caso t = p5 así es que
!(s) = !(t(s)) =
c
c

s
p
5

2 cos

; 2 sin

s
p
5

s
;p
5

es vector posición en términos de s, derivando
!0 (s)
c

= !0 (t(s)) =
c
=

2
p
5

sin

1
s
p
p ; 2 cos
5
5
s
1
; cos p
;
2
5

2 sin
s
p
5

Calculando su modulok!0 (s)k =
c

2
p
5

=

2
p
5

s

sin

s
p
5

1+

2

s
p
5

1
1
p ;p
5
5
(1)

2

1
=1
4

r

+ cos

s
p
5

+

1
4

Por lo tanto, !0 (s) es vector unitario.
c
Especi…caciones:
a) Si !(t) describe la trayectoria de una partícula en el espacio, el vector
c
!0 (t) = ( 2 sin(t); 2 cos(t); 1) es la velocidad con que se desplaza la partícula
cpor la curva C en el punto !(t), en el instante “t”
c
.
p
b)k!0 (t)k = 5 es la rapidez con que se desplaza la partícula, 8t, lo que
c
signi…ca que la partícula se mueve con rapidez constante 8t.
c) Asimismo, la longitud del arco es
Zt
s(t) =
k!0 (t)k du
c
0
Z tp
p
=
5du = 5t
0

p

s
5t =) t = p
5
En general y en teoría la ecuación s = s(t) siempre se puede resolver para ten términos de s, es decir tener t = t(s). En la práctica existen casos en los que
por razones algebraicas no se puede tener t = t(s) ¿Conoces algún caso?
s=

2

1.3 Ejercicio 3
!
!
Una partícula se mueve en el espacio con vector posición !(t) = t A + t2 B +
r
3!
!
!!
2
2 3 t 2 A B , donde A y B son dos vectores unitarios …jos que forman ángulo
de 3 radianes. Calcular la...