Escalamiento multidimnsional
Páginas: 10 (2430 palabras)
Publicado: 1 de septiembre de 2010
Escalamiento Multidimensional
Una Técnica para la Construcción de Mapas de Similitudes Luis Guillén Grados
INVEST Consulting Group
L
a reducción de escala multidimensional (MDS: multidimensional scaling) es una técnica matemática que permite mapear en un espacio de menos dimensiones las distancias entre los puntos que se encuentran en un espacio de muchas dimensiones. Resulta de máximautilidad cuando se pueden mapear distancias en un espacio de muchas dimensiones hacia uno bidimensional; en este caso, los puntos datos se pueden representar gráficamente en el espacio bidimensional y se puede examinar es gráfica para ver cuáles puntos tienden a estar cercanos entre sí. El MDS es una técnica multivariante de interdependencia que trata de representar en un espacio geométrico de pocasdimensiones las proximidades existentes entre un conjunto de objetos o de estímulos. Esta técnica, aunque tiene sus raíces a principios del siglo XX, sigue siendo muy utilizada en muchas áreas. El MDS es una técnica de representación espacial que trata de visualizar sobre un mapa un conjunto de estímulos (firmas, productos, candidatos políticos, ideas u otros artículos) cuya posición relativa sedesea analizar. El propósito del MDS es transformar los juicios de similitud o preferencia llevados a cabo por una serie de individuos sobre un conjunto de objetos o estímulos en distancias susceptibles de ser representadas en un espacio multidimensional. El MDS está basado en la comparación de objetos o de estímulos, de forma que si un individuo juzga a los objetos A y B como los más similaresentonces las técnicas de MDS colocarán a los objetos A y B en el gráfico de forma que la distancia entre ellos sea más pequeña que la distancia entre cualquier otro par de objetos. En la actualidad, el MDS puede ser apto para gran cantidad de tipos diferentes de datos de entrada (tablas de contingencia, matrices de proximidad, datos de perfil, correlaciones, etc.). El MDS puede ayudar a determinar:• • • • Qué dimensiones utilizan los encuestados a la hora de evaluar a los objetos. Cuántas dimensiones utilizan. La importancia relativa de cada dimensión. Cómo se relacionan perceptualmente los objetos.
Existen otras técnicas multivariantes, como son el análisis factorial y el análisis cluster, que persiguen objetivos muy similares al MDS pero que difieren en una serie de aspectos. Sinembargo, la utilización de alguna de estas técnicas no supone que no se pueda utilizar el escalamiento multidimensional, sino que esta última técnica puede servir como alternativa o bien como complemento a las otras técnicas multivariantes. En definitiva, el MDS es una técnica multivariante que crea un gráfico aproximado a partir de las similitudes o preferencias de un conjunto de objetos. El modelogeneral de Escalamiento Multidimencional De modo general, podemos decir que el MDS toma como entrada una matriz de proximidades, ∆∈Μnxn, donde n es el número de estímulos. Cada elemento δij de ∆ representa la proximidad entre el estímulo i y el estímulo j.
⎡δ 11 δ 12 ⎢ δ δ 22 ∆ = ⎢ 21 ⎢ . . ⎢ δ n1 δ n 2 ⎢ ⎣
... δ 1n ⎤ ⎥ ... δ 2n ⎥ . . ⎥ ⎥ ... δ nn ⎥ ⎦
A partir de esta matriz de proximidadesel MDS nos proporciona como salida una matriz X∈Μnxm, donde n, al igual que antes, es el número de estímulos, y m es el número de dimensiones. Cada valor xij representa la coordenada del estímulo i en la dimensión j (más adelante veremos el procedimiento para obtener esta matriz).
⎡ x11 ⎢ x X = ⎢ 21 ⎢ . ⎢ ⎢ x n1 ⎣
x12 x 22 . xn2
... x1n ⎤ ⎥ ... x 2 n ⎥ . . ⎥ ⎥ ... x nn ⎥ ⎦
A partir deesta matriz X se puede calcular la distancia existente entre dos estímulos cualesquiera i y j, simplemente aplicando la fórmula general de la distancia de Minkowski:
⎡ m d ij = ⎢ xit − x jt ⎢ ⎣ t =1
∑(
)
p⎥
⎤ ⎥ ⎦
1/ p
donde p puede ser un valor entre 1 e infinito. A partir de estas distancias podemos obtener una matriz de distancias que denominamos D∈Mnxn:
De esta forma...
Una Técnica para la Construcción de Mapas de Similitudes Luis Guillén Grados
INVEST Consulting Group
L
a reducción de escala multidimensional (MDS: multidimensional scaling) es una técnica matemática que permite mapear en un espacio de menos dimensiones las distancias entre los puntos que se encuentran en un espacio de muchas dimensiones. Resulta de máximautilidad cuando se pueden mapear distancias en un espacio de muchas dimensiones hacia uno bidimensional; en este caso, los puntos datos se pueden representar gráficamente en el espacio bidimensional y se puede examinar es gráfica para ver cuáles puntos tienden a estar cercanos entre sí. El MDS es una técnica multivariante de interdependencia que trata de representar en un espacio geométrico de pocasdimensiones las proximidades existentes entre un conjunto de objetos o de estímulos. Esta técnica, aunque tiene sus raíces a principios del siglo XX, sigue siendo muy utilizada en muchas áreas. El MDS es una técnica de representación espacial que trata de visualizar sobre un mapa un conjunto de estímulos (firmas, productos, candidatos políticos, ideas u otros artículos) cuya posición relativa sedesea analizar. El propósito del MDS es transformar los juicios de similitud o preferencia llevados a cabo por una serie de individuos sobre un conjunto de objetos o estímulos en distancias susceptibles de ser representadas en un espacio multidimensional. El MDS está basado en la comparación de objetos o de estímulos, de forma que si un individuo juzga a los objetos A y B como los más similaresentonces las técnicas de MDS colocarán a los objetos A y B en el gráfico de forma que la distancia entre ellos sea más pequeña que la distancia entre cualquier otro par de objetos. En la actualidad, el MDS puede ser apto para gran cantidad de tipos diferentes de datos de entrada (tablas de contingencia, matrices de proximidad, datos de perfil, correlaciones, etc.). El MDS puede ayudar a determinar:• • • • Qué dimensiones utilizan los encuestados a la hora de evaluar a los objetos. Cuántas dimensiones utilizan. La importancia relativa de cada dimensión. Cómo se relacionan perceptualmente los objetos.
Existen otras técnicas multivariantes, como son el análisis factorial y el análisis cluster, que persiguen objetivos muy similares al MDS pero que difieren en una serie de aspectos. Sinembargo, la utilización de alguna de estas técnicas no supone que no se pueda utilizar el escalamiento multidimensional, sino que esta última técnica puede servir como alternativa o bien como complemento a las otras técnicas multivariantes. En definitiva, el MDS es una técnica multivariante que crea un gráfico aproximado a partir de las similitudes o preferencias de un conjunto de objetos. El modelogeneral de Escalamiento Multidimencional De modo general, podemos decir que el MDS toma como entrada una matriz de proximidades, ∆∈Μnxn, donde n es el número de estímulos. Cada elemento δij de ∆ representa la proximidad entre el estímulo i y el estímulo j.
⎡δ 11 δ 12 ⎢ δ δ 22 ∆ = ⎢ 21 ⎢ . . ⎢ δ n1 δ n 2 ⎢ ⎣
... δ 1n ⎤ ⎥ ... δ 2n ⎥ . . ⎥ ⎥ ... δ nn ⎥ ⎦
A partir de esta matriz de proximidadesel MDS nos proporciona como salida una matriz X∈Μnxm, donde n, al igual que antes, es el número de estímulos, y m es el número de dimensiones. Cada valor xij representa la coordenada del estímulo i en la dimensión j (más adelante veremos el procedimiento para obtener esta matriz).
⎡ x11 ⎢ x X = ⎢ 21 ⎢ . ⎢ ⎢ x n1 ⎣
x12 x 22 . xn2
... x1n ⎤ ⎥ ... x 2 n ⎥ . . ⎥ ⎥ ... x nn ⎥ ⎦
A partir deesta matriz X se puede calcular la distancia existente entre dos estímulos cualesquiera i y j, simplemente aplicando la fórmula general de la distancia de Minkowski:
⎡ m d ij = ⎢ xit − x jt ⎢ ⎣ t =1
∑(
)
p⎥
⎤ ⎥ ⎦
1/ p
donde p puede ser un valor entre 1 e infinito. A partir de estas distancias podemos obtener una matriz de distancias que denominamos D∈Mnxn:
De esta forma...
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