esenario

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE GREEN AL ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES PLANOS

Algunos problemas de página 245 y siguientes.
y
9. Trabajo del campo
5

1
x 
4
 sobre la curva
F =  x2 −
,y>-1

3
y + 1 ( y + 1)2 


2
C: (t − sin t , 1 − cos t ), 0 ≤ t ≤ 2π
1
x
Hay que hacer ver que se cumple la igualdad de las
A 1 2 3 4 5 6B 7 8
−1
derivadas cruzadas en el abierto donderesulta y ≠ − 1,
−1
que no es conexo pero se obtiene de la unión entre dos
−2
abiertos simplemente conexos (y > − 1, y < − 1). En
−3
cada uno de ellos el campo es conservativo. En
8
F = F = L= π 3 − 2π
particular interesa el abierto donde y > − 1, que es el
3
C
AB
que contiene a la curva de integración.
Para calcular se puede buscar un potencial (integrando
(2π , 0 )
de un puntofijo a un punto variable) y hallar la
x3
x
8
F=
−
= L = π 3 − 2π
diferencia de potencial entre el punto inicial y el punto
3 y + 1 ( 0, 0 )
3
C
final, o cambiar la curva por otra que una losmismos
extremos.
2
2
15. Se pide la integral del campo F =  e x + y , 2 y e x + y  a lo largo de una curva (arco de





∫ ∫

∫

cicloide). En este caso se advierte a simple vistaque un potencial es ϕ ( x, y ) = e x + y
(justificar esta afirmación, mostrando que ϕ x = f ( x, y ), ϕ y = g ( x, y ) ). Luego, se calcula
fácilmente la integral pedida como incremento delpotencial entre el punto inicial y el punto final, y
se obtiene e 2π + 4 − e 4 .
y
16. Se pide en a) calcular la integral del campo
2
 −y

x
 sobre el cuadrado que se indica en la
F = 2
, 2
1 x + y2 x + y2 


x
figura y en b) la integral sobre el lado del cuadrado contenido en
el primer cuadrante.
−2
−1
1
2
Se recomienda tener en cuenta el ejemplo 5 de la página 241, y
−1el ejercicio 7 de la sección 2.
2

−2

17. Se pide calcular la integral de la FDL
ω = ( x cos x + ysin x ) dx − cos x dy a lo largo de un arco de
astroide en el primer cuadrante.

y

1...