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OBJETIVOS

QUE LOS COMPAÑEROS CONOZCAN DIFERENTES MÉTODOS PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.
DESARROLLAR LOS MÉTODOS APRENDIDOS DURANTE EL CURSO DE “MÉTODOS NUMÉRICOS”.
APRENDER A REALIZAR MÉTODOS PARA CADA PROBLEMA DIFERENTE DE OPTIMIZACIÓN.























PROBLEMA I

Con los datos del diagrama siguiente (donde los porcentajes están dados enpeso), encuentre posibles valores de las corrientes M₁, M₂, M₃ y M₄.

M₁

M₂


M₃


Solución:
Mediante balances de materia por componente y global, se tiene:
Componente
Balance de materia
Etanol
0.83M₁
+

+
0.55M₃
-
0.58M₄
=
0
Metanol


0.61M₂
+
0.24M₃
-
0.21M₄
=
0Agua
0.17M₁
+
0.39M₂
+
0.21M₃
-
0.21M₄
=
0
Global
M₁
+
M₂
+
M₃
-
M₄
=
0

0.83M₁


+
0.55M₃
=
58


0.61M₂
+
0.24M₃
=
21
0.17M₁
+
0.39M₂
+
0.21M₃
=
21
Hay que observar que solo se tienen tres ecuaciones linealmente independientes, pues la ecuación del balance global de materia es la suma de las otras tres. Por ser el sistemahomogéneo es consistente, y como el rango de la matriz coeficiente es menor que el número de incógnitas, el sistema tiene un número infinito de soluciones. Fijando una base de cálculo, por ejemplo M₄ = 100 Kg, se obtiene el sistema:


PROBLEMA II

En el interior de un cilindro de aluminio (figura) se tiene una resistencia eléctrica que genera una temperatura T₁ = 1200°F. En la superficie exteriordel cilindro circula un fluido que mantiene su temperatura a T₂ = 300°F. Calcule la cantidad de calor transferido al fluido por unidad de tiempo.
Datos adicionales:
R₁ = 2 pulg, R₂ = 12 pulg, L = 12 pulg
La conductividad térmica del aluminio varía con la temperatura según la tabla siguiente:
K BTU/ (hr pie² (°F/pie) )
165
150
130
108
T (°F)
1200
900
600
300Solución:

Se asume un régimen permanente y se modela el proceso con la ecuación de Fourier

Dónde:
q = calor transferido al fluido en BTU/hr.
k = conductividad térmica del aluminio en
A = área de transferencia de calor en pie²
T = temperatura en °F
r = distancia radial a partir del centro del cilindro en pies
Al separar variables, integrar y aplicar límites, la ecuación de Fourierqueda:

Al sustituir el área de transmisión de calor A en función de la distancia radial
r: A = 2∏rL e integrar analíticamente el lado izquierdo, se tiene:

Sin embargo, debe integrarse numéricamente el lado derecho, ya que k = ƒ (T) está dada en forma discreta (tabulada). Así que, despejando q, se tiene:
q = -
Al integrar con la regla trapezoidal el numerador y sustituir valores, seobtiene:
q = - = 438163.7 BTU/hr

PROBLEMA III

El flujo a través de canales abiertos que tengan una sección transversal de forma constante y un fondo con pendiente también constante, queda modelado por la expresión.
L =
Donde el integrando representa el perfil de la superficie del líquido y, si n y S˳ son constantes a lo largo del canal, el integrando es función del tiro y del canalsolamente

L =
F (y) =

Un canal de sección transversal trapezoidal con base= 3m y paredes laterales inclinadas con pendiente m= 1, conduce un gasto Q= 28m³/s de agua. Si el tirante en la sección 1 es y₁= 3m, determine el perfil de la superficie del agua F(y) para los siguientes 700 m en la dirección de la corriente. Utilice los parámetros n= 0.014, S˳= 0.001
Solución:
En un canal trapezoidal,el área de la sección transversal
A = by + mA = by + m² = 3y + y²
El perímetro mojado es
P = b + 2y = 3 + 2y
El radio hidráulico es:
R =
El ancho de la sección transversal de la superficie líquida es:
T = b + 2y = 3 + 2y
Tomando C⩋ = 1 y dado que el gasto es Q= 28 m³/s, se tiene
F(y)=
Para calcular el perfil para 700 metros, es necesario resolver la ecuación integral:

Como...