Espacios Vetoriales

Espacios Vectoriales.

Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

BASES Y DIMENSIÓN


DEFINICIÓN

Base Un conjunto finito de vectores v1, v2, . . ., vn es una basepara un espacio vectorial V si
i. v1, v2, . . ., vn es linealmente independiente
ii. v1, v2, . . ., vn genera V.

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente Rn es una base en RnEn Rn se define








Base canónica.- Entonces, como los vectores e1 son las columnas de una matriz identidad e1, e2, . . ., en es un conjunto linealmente independiente y, por lotanto, constituye una base en Rn.


EJEMPLO

Base canónica para M22 que , , y generan a M22
Si
= C1 + C2+ C3 + C4 = , entonces es obvio que c1 = c2=c3=c4= 0. Así, estas matrices son linealmente independientes y forman una base para M22 .


DEFINICIÓNDimensión.- Si el espacio vectorial V tienen una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. De otramanera, V se llama espacio de dimensión infinita. Si V = 0 , entonces se dice que V tiene dimensión cero.


EJEMPLO

La dimensión de Rn Como n vectores linealmente independientes en Rnconstituye una base, se ve que
Dim Rn = n



Cambio de base
Sea x un vector que en base B1 (de vectores unitarios u1, u2, ...) será igual a m1u1+ m2u2 + m3u3 + ... El mismo vector, utilizandootra base B2 (de vectores unitarios v1, v2, ...) será n1v1+ n2v2 + n3v3 + ...
Supongamos que u1, u2, ... se representan en la base B2 de esta forma:
u1 = a11v1 + a21v2 + ... + an1vn
u2 = a12v1 +a22v2 + ... + an2vn
.............................................................
un = a1nv1 + a2nv2 + ... + annvn
Por lo tanto, sustituyendo estas ecuaciones en la fórmula original nos queda:
x =...