espol copitulo 8

Capítulo 8
Geometría del Espacio
Introducción
Esta rama de la geometría, también denominada Estereometría, se
ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio
tridimensional. Estas figuras se denominan sólidos y entre ellas se encuentran
el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría
del espacio amplía y refuerza las proposiciones de lageometría plana y es
la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del
espacio y la geometría descriptiva, entre otras.
El estudio de la geometría tridimensional data de la
antigua Grecia, cuando se planteó el famoso problema
de la duplicación del cubo. Cuenta la leyenda que la
peste asolaba la ciudad de Atenas, hasta el punto de
llevar a la muerte a Pericles. Unembajador de la ciudad
fue al oráculo de Delfos, para consultar qué se debía
hacer para erradicar la mortal enfermedad. Tras consultar
al oráculo, la respuesta fue que se debía duplicar el altar
consagrado a Apolo en la isla de Delfos. El altar tenía una peculiaridad: su
forma cúbica. Los atenienses construyeron un altar cúbico en el que las
medidas de los lados eran el doble de las medidasdel altar de Delfos, pero la
peste no cesó. Consultado de nuevo, el oráculo advirtió a los atenienses que
el altar no era el doble de grande, sino 8 veces mayor,
puesto que el volumen del cubo es el cubo de su arista
((2a)3 = 8a3). Nadie supo cómo construir un cubo cuyo
volumen fuese exactamente el doble del volumen de
otro cubo dado, y el problema matemático persistió
durante siglos (noasí la enfermedad).

János Bolyai,
matemático húngaro
(1802-1860)

Gauss fue el primero que creyó construir una
geometría (un modelo del espacio) en la que no se
cumple el V postulado de Euclides, pero no publicó su
descubrimiento. Son Bolyai y Lobachevsky quienes, de
manera independiente y simultánea, publicaron cada uno
una geometría distinta en la que no se verifica tampoco
pág. 681el V postulado. ¿Qué quiere decir esto? Tanto Bolyai
como Lobachevsky parten de un objeto geométrico y
establecen sobre él, unos postulados que son idénticos
a los de Euclides en “Los Elementos”, excepto el quinto.
Pretenden originalmente razonar por reducción al
absurdo: si el V postulado depende de los otros cuatro,
cuando lo sustituya por aquél que dice exactamente lo
contrario, se hade llegar a alguna contradicción lógica.

Nikolai Lobachevsky,
matemático ruso
(1792-1856)

Lo sorprendente es que no se llega a contradicción alguna, lo cual indica
dos cosas:

1. El V postulado es independiente de los otros cuatro, es decir, no puede
deducirse de los otros cuatro, no es un teorema, y Euclides hizo bien en
considerarlo como un postulado.

2. Existen modelos delespacio en los que, en contra de toda intuición, un
punto que no esté contenido en una cierta recta no necesariamente forma
parte de una única recta paralela a la dada. Esto no es intuitivo, pues
no podemos concebir tal cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos
dibujar) una situación así, sin reinterpretar los conceptos de recta, plano,
etc. Pero desde el punto de vista lógico, es perfectamenteválido.
Como es de imaginar, esto supuso una fuerte crisis en las matemáticas del
siglo XIX, que vino a sumarse a otras controversias.

8.1 Figuras en el espacio
En esta sección se identifican los elementos que participan en la geometría
espacial, los cuales son fundamentales para la creación de objetos en tres
dimensiones.
En el espacio existen figuras (conjuntos de puntos) que no estáncontenidas en
plano alguno, a continuación se muestran algunos de ellos y sus relaciones.

П1

П
P

L

a) Recta intersecando un plano.

pág. 682

П2

b) Planos paralelos.

Capítulo 8
Geometría del Espacio
L

L1
L2

P

П

П
c) Dos rectas concurrentes paralelas
a un mismo plano.

d) Recta perpendicular a un plano.

Figura 8.1: Figuras en el espacio.

8.2 Rectas y...