Estabilidad en sistemas discretos

5.3 Estabilidad y criterios de estabilidad en sistemas discretos
Por razones análogas a las expresedas en la sección 5.2, la estabilidad de sistemas dinámicos lineales discretos también estádeterminada por la ubicación de sus polos. La condición de estabilidad consiste en que éstos deben estar ubicados en el interior del círculo unitario.

Debido a que esta condición es diferente a la queexiste para los sistemas continuos, las herramientas presentadas en la sección 5.2 no pueden emplearse directamente, sino que es necesario efectuar algún tipo de adecuación. Existen en general tresestrategias:

Adecuar el sistema discreto para que parezca un sistema continuo. Este es el caso de la transformación bilineal que se explica en la sección 5.3.1.
Diseñar estrategias específicas parasistemas discretos. El criterio de Jury que se presenta en la sección 5.3.2 corresponde a este caso.
Adecuar las estrategias de análisis para que funcionen con sistemas discretos. Las secciones 5.3.3,5.3.4 y 5.3.5 explican como adecuar las estrategias de root-locus, Bode y Nyquist, respectivamente (ver sección5.2), para aplicarlas en el caso discreto.

5.3.1 Transformación bilineal

Latransformación

$\displaystyle r=\frac{z+1}{z-1}$ (5.46)

Se conoce como la transformación bilineal, ya que al despejar $ r$ en (5.47) resulta una expresión similar:

$\displaystyle z=\frac{r+1}{r-1}$(5.47)

La transformación bilineal tiene la propiedad de transformar la circunferencia unitaria en el eje imaginario. Para demostrarlo, supongamos un valor de $ z$ que está en la circunferenciaunitaria, es decir $ z=\cos\phi+j\sin\phi$ para algún valor de $ \phi$. Al aplicar (5.47) observamos que $ z$ se transforma en

$\displaystyle r=\frac{\cos\phi+j\sin\phi+1}{\cos\phi+j\sin\phi-1}
$que puede escribirse como
$\displaystyle r=\frac{1+\cos\phi+j\sin\phi}{-1+\cos\phi+j\sin\phi}
=
\frac{\lef...
...ght)
}{
\left(-1+\cos\phi+j\sin\phi\right)
\left(-1+\cos\phi-j\sin\phi\right)...