Estacionariedad

APÉNDICE B. METODOLOGÍA ECONOMÉTRICA BÁSICA Estacionariedad El concepto de estacionariedad es de suma importancia en la teoría de la cointegración. Aquí se utilizará el concepto de estacionariedad en sentido débil, o de segundo orden, y se refiere a la misma simplemente como estacionariedad. Considerando una serie temporal como la realización de un proceso estocástico, se dirá que éste esestacionario en sentido débil si tiene momentos de primer y segundo orden finitos y que no varían en función del tiempo. Formalmente, un proceso estocástico x(t) es estacionario en sentido débil si
E x (t i ) 2 = E x ( t i + h ) 2 = µ 2 < ∞

E [x(t i ) x(t i )] = E [x (t i + h) x(t i − h )] = µ ij < ∞

[

E [x(t i )] = E [x(t i + h )] = µ1 < ∞

]

[

]

con µ1 , µ 2 y µ ij constantes a lolargo del tiempo. De ahora en adelante consideraremos únicamente procesos estocásticos en tiempo discreto64, sin hacer referencia a los de tiempo continuo. La presencia de no estacionariedad únicamente en la media, es decir, en el momento de primer orden, puede recogerse introduciendo elementos deterministas -tales como tendencias lineales o polinómicas, tendencias segmentadas, variablesficticias, etc en la especificación del proceso. En caso de que la introducción de estos elementos deterministas capture la no estacionariedad en media del proceso, la inferencia estándar es aplicable bajo los supuestos básicos clásicos. Así, por ejemplo, los estimadores MCO tendrán distribuciones asintóticas normales. En cambio, como tendremos ocasión de observar, la presencia de tendencias en la varianza(momento de segundo orden) origina que las distribuciones utilizadas en la inferencia estándar no sean aplicables, y que algunos estadísticos (contrastes de la t, F, etc...) converjan hacia distribuciones no degeneradas en lugar de hacerlo hacia

Es decir, procesos medidos en intervalos regulares de tiempo. Dado que las variables económicas suelen observarse en tiempo discreto nos referimosúnicamente a este caso.
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Apéndice B/ 100

distribuciones degeneradas.65 Las tendencias en varianza, es decir, que la varianza sea función del tiempo, pueden estar provocadas, entre otros motivos, por la existencia de raíces unitarias en el polinomio de la representación autorregresiva del proceso66. El ejemplo más simple de no estacionariedad en varianza causada por una raíz unitaria en elpolinomio autorregresivo es el paseo aleatorio (random walk):
xt − φxt −1 = (1 − φL) xt = ε t

con

φ =1

(B.1.)

donde ε t es un ruido blanco (R.B.) y L es el operador retardo, de forma que L • X t = X t −1 . La no estacionariedad en varianza del paseo aleatorio se comprueba al sustituir recursivamente en la expresión, llegando a:
X t = φX o + ∑ φ i ε t −i
i =0 t −1

por lo que si φ =1, σ 2 es la varianza de ε t y la var(xo) = O, la varianza de X t será t • σ 2 . Claramente, se observa que el proceso de paseo aleatorio tiene una tendencia en la varianza y que ésta viene causada por la raíz unitaria en el polinomio autorregresivo. A estas tendencias también se las denomina tendencias estocásticas, distinguiéndose de las deterministas en que las últimas son tendencias en lamedia del proceso. En general, tendrán tendencias estocásticas todos los procesos ARIMA67. Cuando un proceso estocástico presenta una raíz unitaria en el polinomio autorregresivo (tendencia estocástica, en varianza), es decir, presenta el factor (1 -L), diremos que el proceso es integrable -

Es decir, convergen, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, hacia una variable aleatoria(distribuciones no degeneradas) en lugar de hacerlo hacia una escalar (distribuciones degeneradas). 66 También podrían ser creadas, por ejemplo, por la presencia de raíces en el polinomio autorregresivo dentro del círculo unidad. Éstas, a diferencia de las raíces unitarias, no desaparecen al aplicar el operador diferencia (1-L). Las implicaciones de la presencia de raíces de módulo inferior a la unidad se...