Estadistica

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Tercera Unidad Didáctica

"DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS"

3.1 Parte básica

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3.1.1 Variables aleatorias
En cualquier experimento aleatorio tenemos resultados cualitativos o cuantitativos. Con el objeto de facilitar el estudio matemático, a cada uno de estos resultados le hacemos corresponder un número real. Por ejemplo, el resultado de tomar un español alazar y medir su estatura es un número; el resultado de tomar una familia al azar y anotar el número de hijos es un número; el resultado de aplicar un tratamiento a un enfermo y observar si se cura o no, es un dato cualitativo, que puede convertirse en cuantitativo asignando un "1" al enfermo que se cura y un "0" al enfermo que no se cura. En realidad lo que estamos haciendo es asignar a cada sucesodel espacio muestral un número, pero esta asignación no tiene por qué ser única. Pongamos un ejemplo: lanzamos dos dados al aire y a cada suceso elemental le podemos asignar la suma, el producto, etc., de los números que aparecen en las caras superiores. Al igual que los resultados de un fenómeno aleatorio no son predecibles, los resultados de una variable aleatoria tampoco lo son, pero podemoscalcular la probabilidad de que ocurra un determinado suceso. A veces puede ocurrir que los valores que toma la variable aleatoria son los mismos, pero no ocurre lo mismo con las probabilidades. Pongamos un ejemplo. Se dispone de dos fármacos A y B distintos para curar una misma enfermedad; los resultados de la variable aleatoria solamente pueden ser 1 ó 0 y uno de ellos puede curar el 20% de loscasos y el otro el 70%. Para tener identificada una variable aleatoria no basta con indicar los valores que pueda tomar, hay que indicar también sus probabilidades. Una variable aleatoria X es toda función que toma diversos valores numéricos (dependientes del resultado de un fenómeno aleatorio) con distintas probabilidades.

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Cuando la variable aleatoria toma un número finito o infinitonumerable* de valores, diremos que es una "variable aleatoria discreta". Veamos ejemplos: En el caso del lanzamiento de un dado perfecto, la variable aleatoria X= "número que sale en la cara superior" puede tomar los valores X={1, 2, 3, 4, 5, 6} con probabilidades P(X)={1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}. Si consideramos la variable aleatoria X= "número de varones en una familia de dos hijos", X={0, 1, 2}y P(X)={1/4, 1/2, 1/4}.
(Observar el espacio muestral del experimento aleatorio).

En general diremos, que una variable aleatoria discreta estará identificada si conocemos sus posibles valores X = {x1 , x 2 , ..., x n } y sus respectivas probabilidades P(X = x i ) = P i

Observemos que la suma de las probabilidades es 1: ! Pi = 1
i

A toda regla que permita asociar a cada valor xi de lavariable aleatoria su probabilidad Pi, la llamaremos "función de probabilidad". Tal función de probabilidad puede venir dada por una tabla: X P(X) o bien por una fórmula matemática. También podemos definir la variable aleatoria a través de la "función de distribución".
F(X) = P(X ! x)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

*

Un conjunto infinito A se dice que es numerable si se puede establecer unaaplicación biyectiva f entre el conjunto de los naturales y A.

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F(X) no es más que la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que x. En el ejemplo anterior:
F(0) = P(X ! 0) = P(X = 0) F(1) = P(X ! 1) = P(X = 0) + P(X = 1) F(2) = P(X ! 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

De un modo general, a toda tabla, gráfica o expresión matemática que indique los valores quepuede tomar una variable aleatoria y las probabilidades con que los toma, se llamará "distribución de probabilidad de dicha variable aleatoria". El concepto de variable aleatoria proporciona un medio para relacionar cualquier resultado con una medida cuantitativa.

3.1.2 Esperanza, varianza y desviación típica de una variable aleatoria
Se llama esperanza de la variable aleatoria discreta X, al...