Estadistica

Estimación puntual
Una estimación puntual del valor de un parámetro poblacional desconocido (como puede ser la
media ⎧ , o la desviación estándar ⌠ ), es un número que se utiliza para aproximar el verdadero
valor de dicho parámetro poblacional. A fin de realizar tal estimación, tomaremos una muestra de
la población y calcularemos el parámetro muestral asociado ( x para la media, s para ladesviación estándar, etc.). El valor de este parámetro muestral será la estimación puntual del
parámetro poblacional.
Por ejemplo, supongamos que la compañía Sonytron desea estimar la edad media de los
compradores de equipos de alta fidelidad. Seleccionan una muestra de 100 compradores y
calculan la media de esta muestra, este valor será un estimador puntual de la media de la
población.
¿Quépropiedades debe cumplir todo buen estimador?

Insesgado: Un estimador es insesgado cuando la media de su distribución muestral
asociada coincide con la media de la población. Esto ocurre, por ejemplo, con el
estimador x , ya que ⎧ ’ ⎧ x y con estimador p´ ya que p p ⎧ ′ ’
? De varianza mínima: La variabilidad de un estimador viene determinada por el
cuadrado de su desviación estándar. En elcaso del estimador x , su desviación estándar
es x n
⌠ ’ ⌠ , también llamada error estándar de ⎧ .
En el caso del error estándar de p´,
n
p p
p
’ ´*(1− ´) ′ ⌠
Observar que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra n , menor será la variabilidad
del estimador x y de p´, por tanto, mejor serán nuestras estimaciones.
����Intervalos de confianza.

1. Intervalo de confianza para ⎧ con ⌠conocida.
Un vendedor mayorista de partes automotrices necesita una estimación de la vida media que
puede esperar de los limpiaparabrisas en condiciones normales de manejo. La administración
de la empresa ya ha determinado que la desviación estándar de la vida útil de la población es
de seis meses. Supongamos que se selecciona una sola muestra aleatoria de 100
limpiaparabrisas, y obtenemos que lavida media de estos 100 limpiaparabrisas es de 21
meses. Se pide calcular un intervalo de confianza del 95% para la vida media de la población
de los limpiaparabrisas.
Tenemos X como la distribución de la vida útil en meses de la población de
limpiaparabrisas, no sabemos qué distribución tiene, al igual que desconocemos su media.
En este caso sí conocemos la desviación estándar poblacional.X ≈ (⎧,⌠ ’ 6)
La media muestral X por el teorema central del límite se va a aproximar la distribución
normal:
X N( , / n) x x ≈ ⎧ ’ ⎧ ⌠ ’⌠
Por lo tanto, el intervalo de confianza del 95% para la vida media en meses de toda la
población de limpiaparabrisas, es decir para ⎧
± ∗ ’ ± ∗ ’ 21 ± 1,176 ’
100
21 1,96 6
2
0,05 n
X Z ⌠
[19,824 ; 22,176]

Para estimar la media poblacional pormedio de intervalos de confianza, será necesario recordar que el Teorema Central del Límite nos daba información de como se hallaban distribuidas las medias muestrales: “normalmente” con una media igual a la de la población original ( (que es la que ahora tratamos de conocer) y desviación típica
Supongamos que hemos analizado la muestra ya nombrada de media Km., y que sabemos que la desv. típicade la población es de (=0,4 km., y que nos planteamos estimar la media
[pic][pic][pic][pic][pic][pic]de todo el instituto, con un nivel de confianza del 95% .El proceso para realizar la estimación es el siguiente: Sabemos por el T.C.L. que las medias muestrales se distribuyen según
La siguiente figura nos ilustrará:
Hallamos el valor k de forma que p(-k + 1.645; de lo contrario no rechazar Ho.Con los datos que se tienen,
= = .05
Y entonces,
= = = = −1.107
Z −1.107 < + 1.645; por tanto no rechazar Ho.
La hipótesis nula no se rechazaría por que la prueba estadística no ha caído en la región de rechazo. Se llegaría a la conclusión de que no hay pruebas de que más del 8% de las llantas producidas en el turno de día se revienten antes de 10,000 millas. El gerente no ha encontrado...