Estadistica

CAPÍTULO 1: VARIABLES ALEATORIAS Y SUS DISTRIBUCIONES
En este capítulo el alumno debe abordar el conocimiento de un importante concepto, el
de VARIABLE ALEATORIA, tipos de variables aleatorias y cómo se distribuye la
función de probabilidad en estas variables aleatorias.
VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL

El alumno debe entender bien este nuevo concepto. Una VARIABLE ALEATORIA es
unafunción que asigna un valor numérico a cada suceso elemental del espacio muestral.
En función del número de valores que pueda tomar la variable aleatoria, distinguiremos
dos tipos de variables aleatorias: de tipo discreto y de tipo continuo.
¿Cuál es la diferencia entre ambas? Una variable aleatoria de tipo discreto es aquella
que toma un número finito de valores, e incluso puede tomar un númeroinfinito, pero
siempre que este número infinito sea numerable.
Por el contrario, una de tipo continuo tomará siempre un número infinito NO numerable
de valores.
Distribución de probabilidad en variables aleatorias discretas

Este será el gran problema, pues una vez conocida la función de probabilidad, todo
estará resuelto, ya que sabremos cómo se asigna la probabilidad a cada uno de losvalores de la variable aleatoria, y cualquier otra probabilidad que nos puedan pedir será
fácil su obtención.
Nosotros vamos a suponer que, en la mayoría de los casos, la información sobre cómo
se distribuye la probabilidad de los diversos valores de la variable aleatoria va a ser un
dato, y por tanto se nos dará como conocida, en cada caso, la función de probabilidad.
(El cómo se hayaobtenido dependerá del fenómeno aleatorio del que proceda, de la
experimentación realizada, así como de los datos empíricos que sobre
experimentaciones y situaciones similares se puedan poseer).
En las distribuciones de tipo discreto existen fundamentalmente dos métodos para
asignar la función de probabilidad. Éstos son:
1.° La función de cuantía. Consiste en asignar a cada valor que tome lavariable
aleatoria la probabilidad (o «quantum» de probabilidad) que le corresponde. Y ello,
siempre con los requisitos ya conocidos de que la probabilidad asignada a cada valor ha
de ser siempre mayor o igual que cero; y que el total de la probabilidad asignada a la
suma de todos los valores ha de valer uno. Es decir, si los valores que toma la variable
aleatoria discreta son: x1, x2, ..., xn,se deben cumplir las dos siguientes condiciones:

0  P ( xi )  1
n

 P( x )  1
i 1

i

i = 1,2,..., n

2.° La función de distribución. Es un método diferente al anterior y consiste en asignar
probabilidades no a cada valor concreto (como hace la función de cuantía), sino asignar

probabilidades a cada valor y a todos los valores que están a su izquierda, es decir, que
sonmenores que él. La función de distribución de una variable aleatoria discreta X, para
un valor o punto concreto x, se representa por F(x), y se define así:

F ( x)  P ( X  x) 

n

 P( X  x )

xi  x1

i

Vemos que representa la suma de las probabilidades del valor x y de todos los valores
que sean menores que él.
El alumno debe razonar y vislumbrar cómo este método F(x) deasignar probabilidades
es un método operativo [al igual que lo era la función de cuantía: Pi = P(X = xi)] y que
nos permite calcular la probabilidad de cualquier suceso que nos puedan pedir.
Distribución de probabilidad en variables aleatorias continuas

Una variable aleatoria continua necesariamente ha de tomar una infinidad NO
numerable de valores. Al repartir el total de probabilidad 1 entreesa infinidad no
numerable de valores, la probabilidad que le corresponderá será necesariamente cero. Es
decir:
P(xi ) = P(X = xi)=0
Y ello nos conduce a que el método de la función de cuantía P(xi) no tiene sentido en las
distribuciones de tipo continuo. ¿Qué se hace entonces?
Se introduce un nuevo concepto: la densidad de probabilidad. Es el cociente -como tal
densidad que es- entre la...