estadistica

II. Variable aleatoria continua y su función de densidad de probabilidad

Aquellas variables aleatorias cuyo recorrido no está conformado por un número contable de puntos sino que es un intervalo o unión de intervalos se dice que son variables aleatorias del tipo continuo. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua, X, es el conjunto de pares ; donde:
, representa a unvalor observado de la variable aleatoria X y,
, la correspondiente función de densidad de probabilidad.
La función de densidad de probabilidad , es una función definida en todos los números reales que satisface las siguientes condiciones:
(i) .
(ii) .
(iii)
Una consecuencia de que X sea una variable aleatoria continua es que, para cualquier valor dentro en el rango de X, porejemplo x,
.
Este resultado se desprende de inmediato del hecho de que

Definición La función de distribución de una variable aleatoria continua X es
.
Si X es una variable aleatoria continua, entonces, para cualquier y ,


EjemploEn los últimos 50 años, el instituto Geofísico registra información relacionada a las erupciones volcánicas, las que nos indican que X, el tiempo (en segundos) transcurrido entre los temblores y la erupción del volcán, tiene la función de densidad de probabilidad siguiente.Se demostrará que esta función de densidad de probabilidad (fdp), cumple la condición de que el área total bajo f(x) es igual a 1. es decir,

La función de distribución es la siguiente

Así,








Se determinará laprobabilidad de que el tiempo transcurrido entre los temblores y la erupción del volcán sea inferior a 2 segundos; de dos formas: primero usando la función de densidad de probabilidad y luego haciendo uso de la función de distribución. Ambos procedimientos nos conducen al mismo resultado.
(i) Haciendo uso de la función de densidad de probabilidad:

(ii) Haciendo uso de la función dedistribución:

La probabilidad de que de que el tiempo transcurrido entre los temblores y la erupción del volcán sea inferior a 2 segundos es de 0.8647.

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua puede obtenerse a partir de la función de distribución mediante la operación de derivación. Esto es, dada la función de distribuciónF(x), entonces
,
siempre y cuando exista la derivada.

Media, varianza y desviación estándar
La media y la varianza de una variable aleatoria continua se definen de manera similar al caso de la variable aleatoria discreta. En las definiciones, la integración remplaza a la sumatoria.
Definición Para una variable aleatoria continua X, con función de densidad de probabilidad , la media o valoresperado de X denotada por o E(X), es

Definición Suponga que la media de X es y que la función de densidad de probabilidad de X es . La varianza de una variable aleatoria continua X, denotada por, es


Definición La desviación estándar de la variable aleatoria X, Suponga que la media de X es y quela función de densidad de probabilidad de X es . La varianza de una variable aleatoria discreta X, denotada por, es

Ejemplo Con el ejemplo anterior se obtendrá la media, la varianza y la desviación estándar.
Media:

Varianza:



Desviación estándar La desviación estándar es la raíz...