Estructura De Datos

Calculo de area de polígonos y centroides.

el primer paso para calcular el área y el centroide de un polígono es etiquetar todos los vértices del polígono, en un orden en sentido antihorario. esto, cuando se utiliza con la fórmula triángulo, se dan valores positivos para nuestras zonas. tenemos entonces para determinar algún proceso para romper el polígono en pequeños triángulos con el fin decalcular el área total. Hay varias estrategias posibles. uno sería dividir en realidad el polígono en triángulos más pequeños. esto, sin embargo, es una operación extremadamente compleja en muchos casos. una segunda estrategia sería tomar un vértice en particular como punto de partida y, posteriormente, conectarlo a todos los demás vértices del polígono para formar una serie de triángulosadyacentes. entonces podríamos usar nuestra fórmula del área del triángulo para calcular el área de cada uno de estos triángulos. utilizando este método, tendríamos que resolver un determinante de 3 x 3 para cada triángulo, y luego sumar los resultados para hallar el área total. esto no sería un problema en el caso de un polígono convexo, donde todas las áreas sería positivo. en el caso de un polígonocóncavo, sin embargo, algunos de los triángulos formados por los segmentos de vértice original e individuales del límite del polígono tendría áreas negativas. pero, como veremos, esto no produce un error. de hecho, lo que sucede es que las áreas negativas son que al final simplemente resta de excesivas áreas positivas. esto quedará claro en el ejemplo desarrollado.
este enfoque se puede simplificaraún más si en lugar de elegir como nuestro origen un punto arbitrario del límite del polígono, elegimos el origen de nuestro sistema de coordenadas. esto simplifica el ordenador contabilidad un poco, pero añade unos pocos nuevos triángulos a calcular. su gran ventaja sin embargo es que reduce el 3 x 3 determinante a ser calculada a 2 x 2 determinantes, como se muestra en la siguiente ecuación.Echemos un vistazo a 1aau cifra que muestra un polígono cóncavo. si formamos pequeños triángulos utilizando el origen como uno de los vértices como se ha descrito anteriormente, se puede calcular el área de cada uno de los triángulos y los suma para encontrar el área de nuestro polígono:

como podemos ver en este ejemplo práctico, las tres primeras áreas de triángulos tienen valores positivos de3, 17 y 1. la suma de estas áreas incluye la totalidad del polígono ejemplo, pero también incluye el área entre vértice 4, el origen, y el vértice 1. Sin embargo, las áreas negativas calculada, con valores de -3 y -4 exactamente compensar esta sobreestimación inicial. el verdadero espacio es así 14. A continuación, se desea encontrar una manera de calcular el centroide de nuestro polígono. porcentroide, queremos decir aquí el centro de gravedad es decir, el lugar en el polígono enla que, si se corta de cartón, sería mantener el equilibrio sobre la punta de un lápiz. Este se calcula a partir de la suma ponderada de todos los triángulos más pequeños que forman el polígono. para encontrar esta suma ponderada para la coordenada x para nuestro centro de gravedad que primero debe encontrar lacoordenada x para el centro de gravedad de cada uno de los triángulos más pequeños. el siguiente paso es multiplicar cada uno de estos por la zona (o el peso) del triángulo que se aplica. todos estos valores se suman y la suma ponderada se obtiene se divide por el peso total de nuestro poligon (que era 14 en nuestro ejemplo anterior). esto nos da la coordenada x ponderado de nuestro centro degravedad. A continuación, siga el mismo procedimiento para encontrar nuestra coordenada y.

como hemos mencionado, el primer paso del proceso es encontrar el centro de gravedad de cada uno de los triángulos (dado xyy) - por suerte, la fórmula para esto es muy sencilla. la coordenada x del centro de gravedad de un triángulo es simplemente la media de la coordenada x de los tres vértices. lo mismo...