estudiante

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APLICACIONES
DE LAS DERIVADAS

Página 167
REFLEXIONA Y RESUELVE
Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada
■

Analiza la curva siguiente:

f decrece
f' < 0

f crece
f' > 0

f decrece
f' < 0

f crece
f' > 0

f decrece
f' < 0

Relación de la curvatura con el signo de la segunda derivada
■

Describe el tramo CD y los tramos DE, EF y FG siguientes:D
A

E

C

B
f convexa

f cóncava

f ' decreciente

f ' creciente

f '' < 0

G
F

f '' > 0

CD

8

f convexa

8

f ' decreciente

8

f" < 0

DE

8

f cóncava

8

f ' creciente

8

f" > 0

EF

8

f convexa

8

f ' decreciente

8

f" < 0

FG

8

f cóncava

8

f ' creciente

8

f" > 0

Unidad 7. Aplicaciones de lasderivadas

1

■

Dibuja la gráfica de una función, f, que cumpla las siguientes condiciones:
• La función está definida en [0, 7].
• Solo toma valores positivos.
• Pasa por los puntos (0, 1), (3, 1) y (7, 1).
• En el intervalo (1, 2), la función es convexa.
• En el intervalo (2, 4), f '' > 0.
• En el intervalo (4, 6), f ' es decreciente.
• En el intervalo (6, 7), f es cóncava.

1

01

2

3

4

5

6

7

Página 168
1. Halla las rectas tangentes a la curva:
y=

5x 3 + 7x 2 – 16x
x–2

en los puntos de abscisas 0, 1, 3.
Calculamos la derivada de la función:
2
3
2
3
2
y' = (15x + 14x – 16)(x – 2) – (5x + 7x – 16x) = 10x – 23x – 28x + 32
(x – 2)2
(x – 2)2

Ordenadas de los puntos:
y (0) = 0; y (1) = 4; y (3) = 150
• Recta tangente en (0, 0): y '(0) = 8
y = 8x
• Recta tangente en (1, 4): y ' (1) = –9
y = 4 – 9(x – 1) = –9x + 13
• Recta tangente en (3, 150): y ' (3) = 11
y = 150 + 11(x – 3) = 11x + 117

2

Unidad 7. Aplicaciones de las derivadas

UNIDAD

7

2. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva:
y = x 3 – 4x + 3
que sean paralelas a la bisectriz de los cuadrantes segundo y cuarto.
y = x 3 – 4x + 3Calculamos la derivada:
y ' = 3x 2 – 4
Si son paralelas a la bisectriz del 2.° y 4.° cuadrante, la pendiente es –1. Por tanto:
3x 2 – 4 = 1 8 3x 2 = 3 8 x 2 = 1 8 x = ±1
y (–1) = 6
y (1) = 0
Recta tangente en (–1, 6):
y = 6 – (x + 1) = –x + 5
Recta tangente en (1, 0):
y = 0 – (x – 1) = –x + 1

Página 169
1. Dada la función y = x 3 – 3x 2 – 9x + 5, averigua:
a) Dónde crece.
b) Dóndedecrece.
y' = 3x 2 – 6x – 9 = 3(x 2 – 2x – 3) = 3(x – 3)(x + 1)
a) x < –1 8 y' > 0 8 f es creciente en (–@, –1)
x > 3 8 y' > 0 8 f es creciente en (3, +@)
b) –1 < x < 3 8 y' < 0 8 f es decreciente en (–1, 3)

Página 171
2. Comprueba que la función y = x 3/(x – 2)2 tiene solo dos puntos singulares,
en x = 0 y en x = 6.
Averigua de qué tipo es cada uno de esos dos puntos singulares; paraello, debes estudiar el signo de la derivada.
2
2
3
2
y' = 3x (x – 2) – 2(x – 2)x = x (x – 2) (3(x – 2) – 2x) =
4
(x – 2)
(x – 2)4
2
2
= x (3x – 6 – 2x) = x (x – 6)
3
(x – 2)
(x – 2)3

Unidad 7. Aplicaciones de las derivadas

3

y' = 0 8 x 2 (x – 6) = 0

x=0
x=6

f ' (–0,01) > 0 °
¢ En x = 0 hay un punto de inflexión.
f ' (0,01) > 0 £
f ' (5,99) < 0 °
¢ En x = 6 hay unmínimo relativo.
f ' (6,01) > 0 £

3. a) Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función
y = –3x 4 + 4x 3.
Mediante una representación adecuada, averigua de qué tipo es cada uno
de ellos.
b) Ídem para y = x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9.
a) y' = –12x 3 + 12x 2 = 12x 2 (–x + 1)

y' = 0

x = 0 8 Punto (0, 0) °
¢ Dos puntos singulares.
x = 1 8 Punto (1, 1) £

Los dospuntos están en el intervalo [–1; 1,5],
donde la función es derivable.

1
1

Además, f (–1) = –7 y f (1,5) = –1,7.
• En (0, 0) hay un punto de inflexión.
• En (1, 1) hay un máximo relativo.
b) y' = 4x 3 + 24x 2 + 44x + 24 = 4(x + 1)(x + 2)(x + 3)

y' = 0

x = –1 8 Punto (–1, 0)
x = –2 8 Punto (–2, 1)
x = –3 8 Punto (–3, 0)

°
§
¢ Tres puntos singulares.
§
£
9

Los tres...