estudiante

ESTADISTICA

MERCEDES OSORIO MAZA

CAPITULO I
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Consiste en emplear métodos estadísticos que determinen matemáticamente un
modelo de la curva que más se ajusta a los datos.
Es decir:

y = f (xi )

Donde:
y = variable dependiente
x = variable independiente
f = función
Para elegir la relación funcional que más se ajusta a los datos lo 1ro que
debemos hacer es eldiagrama de dispersión.

Diagrama de Dispersión.- Es la gráfica de los valores (xi , yi) este diagrama permite
visualizar la tendencia que siguen los puntos ya sea lineal, exponencial, etc.

y i  a  bx i
ˆ

Relación Lineal

y i  ab x
ˆ

Relación Exponencial

Diagrama de Dispersión
s/ Tendencia

En base a la tendencia que siguen los datos nosotros analizamos los diferentestipos de
regresión.

1. ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL.- Es aquel análisis cuando la relación
entre “x” e “y” es de tipo lineal.
Matemáticamente el modelo será:

yi  A  Bxi  i
Donde:

y i  Variable dependiente
x i  Variable indenpendiente
A, B  Coeficient es
i  Error

FIGMM

PAG. N0 59

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Si tenemos un diagrama de dispersión lineal y siasumimos un modelo de
estimación de la forma:

Tendremos:

ˆ
yi  a  bx i
y i  a  bx i
ˆ
i

(Modelo Muestral)

yi  A  Bx i

(Modelo Poblaciona l)

Para que el modelo estimado y1  a  bx , este muy próximo al modelo real
ˆ

y1  A  Bx1  1 , nosotros debemos minimizar el error.
Tomando una observación el error será 1  y1  y1 .
ˆ
 Luego la recta que mejor seajusta será aquella que minimice la suma cuadrado del

i2  yi  yi   min.
ˆ

error:

2

Es decir:
n

i2  y1  y1   y2  y2   ..................yi  yi    yi  yi 
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2

2

2

2

i 1

 Para hallar los estimadores “a” y “b” que hagan mínimo el error se estimara de:

 i2
0
a



 i2
0
b

 Ecuaciones Normales

Hallando:

n
i2
 2 y i  a  bx i (-1)  0
a
i 1
n

n

i 1



i 1

 yi  na  b x i  0
n

y
i 1

Primera ecuación normal

n

i

na  b x i
i 1

Reemplazando:
n
2
Si i2   yi  yi  n Y se sabe : yi  a  bx i
ˆ
ˆ
2
i 1
2
i   yi  a  bx i 
i 1

FIGMM

PAG. N0 60

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n
 i2
 2 yi  a  bx i (-x i ) 0
b
i 1
n

n

n

  x i yi  a  x i  b x i2  0
i 1

i 1

n

x y
i 1

i

i 1

n

i

n

i 1

i 1

a  x i  b x i2  0

Segunda ecuación normal

2. REGRESION EXPONENCIAL.- Cuando el diagrama de dispersión se nos
presenta en la siguiente forma:

Entonces el modelo será
ˆ
y  ab x

ˆ
y  ab - x

ˆ
y  ab x

 El modelo será linealizadotomando logaritmo natural y/o función logaritmo.
Si y  ab x
lny  lna  xlnb
 


y*  a *  b * x
Y

L
n
y

ˆ
y  ab x

y*  a * b * x

L
n
x

X

 La estimación de a* y b* se halla igual que la regresión lineal simple de las
ecuaciones:

 y*  na * b *  x
 xy*  a *  x  b *  x
i

i



Ecuaciones normales
2

i 

La regresión exponencialse presenta en muchos problemas de Física, Química
Economía. Etc.

FIGMM

PAG. N0 61

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3. MODELO POTENCIAL.- Si se presenta un modelo
linealizarlo es mediante ln y/o log.

y  ax

la manera de

Linealizan do : lny  ln(ax b )
lny  lna  blnx

Y

y  b2

y*  a * bx *

L
n
y

L
n
x

X

Las ecuaciones serán:

 y  na * b * x
 x y  a *  x  b x
*
i

*
i

* *
i i

i

*2
i

COEFICIENTE DE DETERMINACION (r2). - Es aquella medida conocida también
como coeficiente de bondad de ajuste ya que indica en que porcentaje se ajusta la línea
de regresión al conjunto de datos.

r

2

ˆ
 y

 y

- y

2

i

- y

2

i

yi  Valor observado
yi  Valor estimado en base al...