estudiante

Lino Alvarez - Aurea Martinez ———————————— METODOS NUMERICOS

TEMA 5: INTERPOLACION
NUMERICA
1

EL PROBLEMA GENERAL DE INTERPOLACION

En ocasiones se plantea el problema de que se conoce una
tabla de valores de una funci´n desconocida o dif´ de
o
ıcil
manejar, y nos interesar´ sustituirla por otra m´s senıa
a
cilla (por ejemplo, un polinomio) que verifique la tabla de
valores. Estees el problema de interpolaci´n polin´mica
o
o
que introduciremos en este tema de forma abstracta:
El Problema General de Interpolaci´n (P.G.I.) se
o
plantea de la siguiente manera:
Sea L un espacio vectorial de dimensi´n N sobre R.
o
Sean F1, . . . , FN ∈ L∗, esto es, N aplicaciones lineales
Fi : L −→ R,

i = 1, . . . , N.

Entonces, dados w1, . . . , wN ∈ R, encontrar f ∈ L talque:
Fi(f ) = wi, ∀i = 1, . . . , N.
143

Teorema 1 .- (Existencia y unicidad de soluci´n del
o
P.G.I.)
Son equivalentes:
1. Existe un unico elemento f ∈ L tal que
´
Fi(f ) = wi,

∀i = 1, . . . , N.

2. 0 es el unico elemento de L tal que
´
Fi(f ) = 0,

∀i = 1, . . . , N.

3. Para cualquier base {f1, . . . , fN } de L se tiene
que det(Fi(fj )) = 0.
4. Existe, al menos, unabase {f1, . . . , fN } de L tal
que det(Fi(fj )) = 0.
5. {F1, . . . , FN } son linealmente independientes en
L∗. (Y, por tanto, son base de L∗)
En caso de que el P.G.I. tenga soluci´n unica, esta puede
o ´
caracterizarse mediante el siguiente resultado:
Teorema 2 .- (Representaci´n de Lagrange)
o
Sea L un espacio vectorial de dimensi´n N sobre R.
o
Sea {F1, . . . , FN } una base de L∗.
∗∗
Sea {f1 , . . . , fN } su base dual, es decir:
Fi(fj∗) = δij ,

∀i, j = 1, . . . , N.
144

Entonces, dados w1, . . . , wN ∈ R, el unico elemento
´
f ∈ L tal que:
Fi(f ) = wi,

∀i = 1, . . . , N

se escribe de la forma:
f=

N
i=1

wifi∗.

Casos particulares:
A) Interpolaci´n de LAGRANGE:
o
Sean x0, x1, . . . , xn, (n+1) puntos distintos de R. Sean
w0, w1, . . . , wn,(n + 1) valores reales arbitrarios. Entonces existe un unico polinomio P (x) de grado ≤ n tal
´
que
P (xi) = wi, ∀i = 0, 1, . . . , n.
Para demostrarlo basta tomar en el Teorema 1:
L = Pn(R) =< {1, x. . . . , xn} >,

N = n + 1,

Fi : p ∈ Pn(R) → Fi(p) = p(xi) ∈ R, i = 0, . . . , n.
(El sistema {F0, . . . , Fn} una base porque el determinante resultante al aplicarlo a la base {1, x. . . ., xn} es
no nulo).
Al polinomio P (x) se le llama polinomio de interpolaci´n de Lagrange de grado n en los nodos x0, . . . , xn.
o
145

La base dual, que denominaremos {l0, . . . , ln}, viene
dada por:
li(x) =

(x − x0) . . . (x − xi−1)(x − xi+1) . . . (x − xn)
(xi − x0) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn)

Entonces:
P (x) =

n
i=0

wi li(x).

B) Interpolaci´n deTAYLOR:
o
Sea x0 ∈ R. Sean w0, w1, . . . , wn, (n + 1) valores reales
arbitrarios. Entonces existe un unico polinomio P (x) de
´
grado ≤ n tal que
P (i(x0) = wi,

∀i = 0, 1, . . . , n.

Para demostrarlo basta tomar en el Teorema 1:
L = Pn(R),

N =n+1

Fi : p ∈ Pn(R) → Fi(p) = p(i(x0) ∈ R, i = 0, . . . , n
Al polinomio P (x) se le llama polinomio de interpolaci´n de Taylor de grado nen el punto x0.
o
La base dual, que denominaremos {t0, . . . , tn}, viene
dada por:
(x − x0)i
ti(x) =
i!
146

Entonces:
P (x) =

n
i=0

wi ti(x).

C) Interpolaci´n de HERMITE:
o
Sean x0, x1, . . . , xn, (n+1) puntos distintos de R. Sean
w0, w1, . . . , w2n+1, (2n + 2) valores reales arbitrarios.
Entonces existe un unico polinomio P (x) de grado ≤
´
2n + 1 tal que
P (xi) =wi,
P (xi−(n+1)) = wi,

∀i = 0, 1, . . . , n,
∀i = n + 1, . . . , 2n + 1.

Para demostrarlo basta tomar en el Teorema 1:
L = P2n+1(R),

N = 2n + 2,

Fi : p ∈ P2n+1(R) → Fi(p) = p(xi) ∈ R, i = 0, . . . , n,
Fi : p ∈ P2n+1(R) → Fi(p) = p (xi−(n+1)) ∈ R,
i = n + 1, . . . , 2n + 1.
Al polinomio P (x) se le llama polinomio de interpolaci´n de Hermite.
o
La base dual, que denominaremos...