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Álgebra Booleana






La herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales es el Álgebra Booleana.
Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas (similares en algunos aspectos al álgebra
convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados en
dispositivos de conmutación (interruptores, relevadores, transistores,etc). Los tres ejemplos clásicos de álgebras boolenas(lógica proposicional, álgebra de conjuntos, álgebra de switches) y herramientas básicas como tablas
de verdad y diagramas de Venn.
. Álgebra Booleana
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par deentradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
Cerrado. El sistema booleanose considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si Xº Y = Yº Xpara todos los posibles valores de X y Y.



Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (X º Y) º Z = X º (Y º Z) para todos los valores booleanos X, Y, yZ.


Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (Y % Z) = (X º Y) % (X º Z) para todos los valores booleanos X, Y, y Z.


Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si X º I = X.
Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si X º I = Y, y Yes diferente de X, es decir, Y es el valor opuesto de X.
Propiedad de los neutros. Existen tales que:


Se cumple la propiedad: tal que:






0
1
1
1
0
1





0
1
0
1
0
0





Existencia de Complementos. Para cada x en B existe un elemento único
denotado x (también denotado x’), llamado complemento de x tal que

x+ x = 1 (b) x x = O
ÁLGEBRA DE CONJUNTOS1.- Para este ejemplo el conjunto B es el conjunto de todos los conjuntos a tratar. La suma es la
unión de conjuntos (U) y la multiplicación es la intersección () de conjuntos.

2.- Existencia de neutros. El neutro de la unión es el conjunto vacío F , mientras que el neutro de la
intersección es el conjunto universo U, ya que para cualquier conjunto arbitrario :
A, A U F = A y A U= A.3.- Conmutatividad. La unión y la intersección son conmutativas, ya que para cualquier par de
conjuntos :
A, B: A U B = B U A y A B = B A

4.- Asociatividad. La unión y la intersección de conjuntos son asociativas, ya que para cualesquiera
tres conjuntos:
A, B, C: A U (B U C) = (A U B) U C y A (B C) = (A B) C

5.- Distributividad. La unión de conjuntos es distributiva sobre laintersección, y viceversa, la
intersección es distributiva sobre la unión, ya que para cualesquiera tres conjuntos:
A, B, C: A U (B C) = (A U B) (A U C) y A (B U C) = (A B) U (A C)

6.- Existencia de complementos. El conjunto complemento Ac cumple con las propiedades deseadas:
A U Ac = U y A Ac = F
Leyes fundamentales
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operacionesdefinidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
1. Ley de idempotencia:


2. Ley de complemento:

3. Ley conmutativa:


4. Ley asociativa:


5. Ley distributiva:
Distributiva por la izquierda:


Distributiva por la derecha:


6. Ley de cancelación:


7. Ley de identidad:


8 Ley de dominación:


9. Leyes de De...