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Páginas: 6 (1265 palabras)
Publicado: 16 de agosto de 2013
Capítulo 6
Diseños factoriales con dos
factores
En primer lugar vamos a estudiar los diseños más simples, es decir aquellos en los
que intervienen sólo dos factores. Supongamos que hay a niveles para el factor A y b niveles
del factor B, cada réplica del experimento contiene todas las posibles combinaciones de
tratamientos, es decir contiene los ab tratamientos posibles.
6.1.
Elmodelo sin replicación
El modelo estadístico para este diseño es:
yij = µ + τ i + β j + (τ β)ij + uij
i = 1, 2, · · · , a ; j = 1, 2, · · · , b , donde
yij : Representa la observación correspondiente al nivel (i) del factor A y al nivel (j)
del factor B.
µ: Efecto constante denominado media global.
τ i : Efecto producido por el nivel i-ésimo del factor A, (
i τi
β j : Efectoproducido por el nivel j-ésimo del factor B,
j
(τ β)ij : Efecto producido por la interacción entre A×B,
uij son vv aa. independientes con distribuciónN(0, σ).
1
= 0).
βj = 0 .
i (τ β)ij
=
j
(τ β)ij = 0 .
2
Diseños factoriales con dos factores
Supondremos que se toma una observación por cada combinación de factores, por
tanto, hay un total de N = ab observaciones.Parámetros a estimar:
Parámetros
µ
τi
βj
(τ β)ij
σ2
Total
6.1.1.
Número
1
a−1
b−1
(a − 1)(b − 1)
1
ab + 1
A pesar de las restricciones impuestas al modelo,
i τi
=
j
βj =
i (τ β)ij
=
j
(τ β)ij = 0,
el número de parámetros (ab + 1) supera al
número de obsevaciones (ab). Por lo tanto, algún
parámetro no será estimable.
Estimación de los parámetros delmodelo
Los estimadores máximo verosímiles de los parámetros del modelo son
µ = y.. , τ i = yi. − y.. , β j = y.j − y.. y
¯
¯
¯
¯
¯
τβ
ij
= yij − yi. − y.j + y..
¯
¯
¯
Los residuos de este modelo son: eij = yij − yij = yij − µ − τ i − β j − τ β
ij
=0 .
Por lo tanto, al ser los residuos nulos no es posible estimar la varianza del modelo y
no se pueden contrastar lasignificatividad de los efectos de los factores. Dichos contrates
sólo pueden realizarse si:
¯
¯
¯
a) Suponemos que la interacción entre A × B es cero. Entonces eij = yij − yi. − y.j + y.. .
b) Replicamos el experimento (Tomamos varias observaciones por cada combinación de
factores).
6.2.
El modelo con replicación
El modelo estadístico para este diseño es:
yijk = µ + τ i + β j + (τβ)ij + uijk ; i = 1, 2, · · · , a ; j = 1, 2, · · · , b ; k = 1, 2, · · · , r
donde r es el número de replicaciones y n = abr es el número de observaciones.
El número de parámetros de este modelo es, como en el modelo de dos factores sin
replicación, ab + 1 pero en este caso el número de observaciones es abr.
6.2 El modelo con replicación
6.2.1.
3
Estimación de los parámetros delmodelo
Los estimadores máximo verosímiles de los parámetros del modelo son
µ = y... , τ i = yi.. − y... , β j = y.j. − y... y τ β
¯
¯
¯
¯
¯
= yij. − yi.. − y.j. + y...
¯
¯
¯
ij
donde
∗) y ij. es la media de las r observaciones en la celdilla ij: y ij. = (
k yijk ) /r
∗) yi.. es la media de las observaciones del nivel i del factor A :
¯
yi.. =
¯
j,k yijk
/(br) ; i =1, · · · , a
∗) y.j. es la media de las observaciones del nivel j del factor B :
¯
y.j. =
¯
i,k yijk
/(ar) ; j = 1, · · · , b
∗) y... es la media total de las observaciones : y... =
¯
¯
i,j,k yijk
/r .
Los residuos de este modelo son:
eijk = yijk − yijk = yij − µ − τ i − β j − τ β
ij
= yijk − y ij. .
Se verifica que todos los residuos de una celdilla deben sumarcero es decir, en cada
celdilla hay r − 1 residuos independientes. Por lo tanto, en total habrá ab(r − 1) residuos
independientes.
Se verifican las mismas propiedades para los estimadores máximo-verosímiles que en
los modelos anteriores. La varianza residual tiene la siguiente expresión
a
b
r
e2
ijk
2
SR =
6.2.2.
i=1 j=1 k=1
ab(r − 1)
.
Descomposición de la...
Diseños factoriales con dos
factores
En primer lugar vamos a estudiar los diseños más simples, es decir aquellos en los
que intervienen sólo dos factores. Supongamos que hay a niveles para el factor A y b niveles
del factor B, cada réplica del experimento contiene todas las posibles combinaciones de
tratamientos, es decir contiene los ab tratamientos posibles.
6.1.
Elmodelo sin replicación
El modelo estadístico para este diseño es:
yij = µ + τ i + β j + (τ β)ij + uij
i = 1, 2, · · · , a ; j = 1, 2, · · · , b , donde
yij : Representa la observación correspondiente al nivel (i) del factor A y al nivel (j)
del factor B.
µ: Efecto constante denominado media global.
τ i : Efecto producido por el nivel i-ésimo del factor A, (
i τi
β j : Efectoproducido por el nivel j-ésimo del factor B,
j
(τ β)ij : Efecto producido por la interacción entre A×B,
uij son vv aa. independientes con distribuciónN(0, σ).
1
= 0).
βj = 0 .
i (τ β)ij
=
j
(τ β)ij = 0 .
2
Diseños factoriales con dos factores
Supondremos que se toma una observación por cada combinación de factores, por
tanto, hay un total de N = ab observaciones.Parámetros a estimar:
Parámetros
µ
τi
βj
(τ β)ij
σ2
Total
6.1.1.
Número
1
a−1
b−1
(a − 1)(b − 1)
1
ab + 1
A pesar de las restricciones impuestas al modelo,
i τi
=
j
βj =
i (τ β)ij
=
j
(τ β)ij = 0,
el número de parámetros (ab + 1) supera al
número de obsevaciones (ab). Por lo tanto, algún
parámetro no será estimable.
Estimación de los parámetros delmodelo
Los estimadores máximo verosímiles de los parámetros del modelo son
µ = y.. , τ i = yi. − y.. , β j = y.j − y.. y
¯
¯
¯
¯
¯
τβ
ij
= yij − yi. − y.j + y..
¯
¯
¯
Los residuos de este modelo son: eij = yij − yij = yij − µ − τ i − β j − τ β
ij
=0 .
Por lo tanto, al ser los residuos nulos no es posible estimar la varianza del modelo y
no se pueden contrastar lasignificatividad de los efectos de los factores. Dichos contrates
sólo pueden realizarse si:
¯
¯
¯
a) Suponemos que la interacción entre A × B es cero. Entonces eij = yij − yi. − y.j + y.. .
b) Replicamos el experimento (Tomamos varias observaciones por cada combinación de
factores).
6.2.
El modelo con replicación
El modelo estadístico para este diseño es:
yijk = µ + τ i + β j + (τβ)ij + uijk ; i = 1, 2, · · · , a ; j = 1, 2, · · · , b ; k = 1, 2, · · · , r
donde r es el número de replicaciones y n = abr es el número de observaciones.
El número de parámetros de este modelo es, como en el modelo de dos factores sin
replicación, ab + 1 pero en este caso el número de observaciones es abr.
6.2 El modelo con replicación
6.2.1.
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Estimación de los parámetros delmodelo
Los estimadores máximo verosímiles de los parámetros del modelo son
µ = y... , τ i = yi.. − y... , β j = y.j. − y... y τ β
¯
¯
¯
¯
¯
= yij. − yi.. − y.j. + y...
¯
¯
¯
ij
donde
∗) y ij. es la media de las r observaciones en la celdilla ij: y ij. = (
k yijk ) /r
∗) yi.. es la media de las observaciones del nivel i del factor A :
¯
yi.. =
¯
j,k yijk
/(br) ; i =1, · · · , a
∗) y.j. es la media de las observaciones del nivel j del factor B :
¯
y.j. =
¯
i,k yijk
/(ar) ; j = 1, · · · , b
∗) y... es la media total de las observaciones : y... =
¯
¯
i,j,k yijk
/r .
Los residuos de este modelo son:
eijk = yijk − yijk = yij − µ − τ i − β j − τ β
ij
= yijk − y ij. .
Se verifica que todos los residuos de una celdilla deben sumarcero es decir, en cada
celdilla hay r − 1 residuos independientes. Por lo tanto, en total habrá ab(r − 1) residuos
independientes.
Se verifican las mismas propiedades para los estimadores máximo-verosímiles que en
los modelos anteriores. La varianza residual tiene la siguiente expresión
a
b
r
e2
ijk
2
SR =
6.2.2.
i=1 j=1 k=1
ab(r − 1)
.
Descomposición de la...
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