estudiante

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1.4. Descomposición de un vector

1.4

Descomposición de un vector

→ →
Sean − y − vectores dados no paralelos. Empezaremos mostrando cómo cualquier vector
u
v
→
− puede descomponerse en la forma
z
→ → →
− =− +−
z
p
q

(1.5)

→
→ →
→
con − paralelo a − y − paralelo a − .
p
u
q
v
→
→
→
→ →
Consideremos primero el caso en el cual − no es paralelo a − ni a − .Dibujamos − , −
z
u
v
u v
→
− con punto inicial común y trazamos, pasando por el extremo final de − , paralelas a
→
y z
z
→ →
− y − , hasta cortar las rectas que contienen estos vectores.
u
v

Figura 1.32.

→
Si P y Q son los correspondientes puntos de corte y O denota el punto inicial de − y
u
→
− , como en la figura 1.27, se tiene que
v
−
→ −
→ OP OQ
− = − + −→
z
−
−→
−
→
→ −
→
con OP paralelo a − y OQ paralelo a − .
u
v
→
− paralelo (por ejemplo) a − , podemos escribir
→
Ahora, en el caso z
u
→ → →
− =− +−
z
z
0
→
→
→ −
→
→
→
dándose que − es paralelo a − y 0 es paralelo a − . Similarmente, si − es paralelo a − ,
z
u
v
z
v
→ → →
− =− +−
z
z
0
→
−
→ →
→
donde 0 es paralelo a − y − es paralelo a − .
u
z
v
→
−cualquiera, − se descompone como se dijo inicial→
Tenemos así que dado un vector z
z
mente, es decir, en la forma (1.5).
→
→
Consideremos ahora un vector − descompuesto en la forma (1.5). Como − es paralelo
z
p
→ →
− y − es paralelo a − entonces − = a− y − = b− para ciertos escalares a y b; por
→
→
→ →
→
a u
q
v
p
u
q
v
→
tanto, − es expresable en la forma
z
→
− = a− + b− .
→
→z
u
v
→
A continuación probaremos que los escalares a y b en la escritura anterior de − son
z
únicos:
→
→
→
→
→
→
Supongamos que − = a1 − + b1 − y también − = a2 − + b2 − (Vamos a probar que
z
u
v
z
u
v
a1 = a2 y b1 = b2 ).

24

1. Vectores geométricos en el plano

Entonces
→
→
→
→
a1 − + b1 − = a2 − + b2 −
u
v
u
v
→
− −a − = b − −b −
→
→
→
a1 u
2u
2v1v
→
− = (b − b )− .
→
(a − a ) u
v
1

2

2

1

(1.6)

→
→
→
u
v
u
Si fuese a1 − a2 6= 0, podríamos escribir − como múltiplo escalar de − y entonces −
→
→
→
sería paralelo a − , pero sabemos que − no es paralelo a − . Luego a1 − a2 = 0, es decir,
v
u
v
→
→
→ −
→ −
v
v
a1 = a2 . Ahora, como a1 − a2 = 0 entonces (b2 − b1 )− = 0 (ver (1.6)) y como − 6= 0
entoncesb2 − b1 = 0 y así b1 = b2 .
Resumimos la discusión anterior en el siguiente resultado:

→ →
→
Si − y − son vectores no paralelos entonces para todo vector −
u
v
z
existen únicos escalares a y b tales que
→
− = a− + b−
→
→
z
u
v

(1.7)

→
Nos referiremos a la escritura en (1.7) de un vector − como la descomposición de
z
→
− en las direcciones de los vectores − y − .
→ →
zu
v
Ejemplo 1.11
→ → →
Sean − , − y − los vectores mostrados en la figura 1.33
u v
z

Figura 1.33.

→
→
→
→
Sabiendo que k− k = 3, k− k = 2 y k− k = 4, hallar la descomposición de − en las
u
v
z
z
→ →
→
→
→
direcciones de − y − , determinando los escalares a y b tales que − = a− + b− .
u
v
z
u
v
Solución:
−
→
−
→
→ −
→
Consideremos la figura 1.34 en la cual P Res paralelo a − , y RQ es paralelo a − .
v
u

Figura 1.34.

→
→
De acuerdo con la figura tenemos que la descomposición de − en las direcciones de −
z
u
→
− es
y v
−
→ −
→ OP OQ
− = − + −→
z

25

1.5. Proyección de un vector sobre otro vector

−
−
→
−→
−
→
→
donde OP = a− para cierto escalar a < 0 y OQ = b− para cierto escalar b > 0.
u
v
A continuación determinamoslos escalares a y b :
Según la ley del seno aplicada al triángulo OP R tenemos que
°− °
→
°− °
→
°OP °
k− k
z
=
o
sen105
sen45o
°− °
→
°− °
→
→
u
u
y como °OP ° = ka− k = |a| k− k entonces
→
→
|a| k− k
u
k− k
z
=
o
sen105
sen45o

de donde

→
k− k sen105o
z
4 (0.96)
→
− k sen45o = ¡ √ ¢ ≈ 1.81
ku
3 1/ 2

|a| =

y dado que a < 0 entonces a ≈ −1.81....