estudiante

Cap´
ıtulo 9

Ecuaciones en derivadas parciales
de primer orden
En este tema vamos a ofrecer una introducci´n a las edp de primer orden, considerando la
o
clasificaci´n y la soluci´n de algunos casos especiales de ecuaciones de este tipo. Veremos que
o
o
la resoluci´n de este tipo de ecuaciones est´ estrechamente relacionada con la integraci´n de
o
a
o
ciertos sistemas de ecuacionesdiferenciales, en general no lineales.

9.1

Introducci´n
o

De acuerdo con lo estudiado en el cap´
ıtulo precedente, diremos que una edp de primer orden
o
para una funci´n u definida en una regi´n U de Rn es una relaci´n de la forma
o
o
F (x1 , x2 , . . . , xn , u, ux1 , ux2 , . . . , uxn ) = g(x1 , x2 , . . . , xn , u),

(9.1.1)

donde la posible existencia de t´rminos quedependen s´lo de las variables independientes y de
e
o
la funci´n u se ha separado, escribi´ndola expl´
o
e
ıcitamente como una funci´n g(x1 , x2 , . . . , xn , u).
o
Obviamente se trata de un caso especial de la definici´n dada en (8.2.4).
o
Por lo que respecta a la interpretaci´n gom´trica de las soluciones de (8.2.4) o de (9.1.1),
o
e
dado que ser´n funciones u(x1 , x2 , . . . , xn ),claramente podr´n ser consideradas como hipersua
a
perficies n–dimensionales en el espacio Rn+1 de las variables (x1 , x2 , . . . , xn , u), denominadas
superficies integrales (o hipersuperficies integrales) de la edp.
Particularizando algunas otras definiciones del tema anterior al caso que ahora no ocupa,
podemos ver que la forma general de una edp lineal de primer orden es
n

ak (x1 , . . . ,xn )
k=1

∂u(x1 , . . . , xn )
= c(x1 , . . . , xn ) u(x1 , . . . , xn ) + d(x1 , . . . , xn ),
∂xk

(9.1.2)

y la forma m´s general de una edp de primer orden cuasilineal es
a
n

ak (x1 , . . . , xn , u)
k=1

∂u(x1 , . . . , xn )
= c(x1 , . . . , xn , u).
∂xk

(9.1.3)

Este tipo de ecuaciones aparecen en problemas de c´lculo variacional, en mec´nica y en optica
a
a
´geom´trica. La ecuaci´n es lineal respecto de las derivadas, pero puede ser no lineal respecto
e
o
a la funci´n inc´gnita u.
o
o
15

16

Cap´
ıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ejercicio 1: clasificar las siguientes edp:
√
x1 − x2 (ux1 x1 )2 = 0.
a)
b) x1 ux2 − x2 ux1 = u.
c) x1 ux1 + eu x2 ux2 − x1 x2 u = 0.
d) (x2 + x2 + x2 )
1
2
3

∂3u
∂u
∂u
3 +(cos x2 ) ∂x + ∂x = 0.
∂x1
2
3

e) ux uy = 1.
f ) x u = y u2 − (tan x)ux = 1.
y
g) u = x ux + yu + u2 + u2 + ux uy .
x
y
h) (y − z)ux + (z − x)uy + (x − y)uz = 0.
Aunque la teor´ que vamos a exponer inmediatamente se puede desarrollar exactamente
ıa
igual para un n´mero cualquiera n de variables independientes, resulta mucho m´s conveu
a
niente desde el punto de vista pedag´gicohacerlo de forma expl´
o
ıcita para n = 2, ya que
esto permite mostrar de manera mucho m´s clara la interpretaci´n geom´trica de las edp de
a
o
e
primer orden y de sus soluciones. As´ pues, en lo sucesivo trabajaremos casi siempre en el
ı
caso bidimensional, con lo cual es mucho m´s c´modo denominar a las dos variables indea o
pendientes (x, y) en lugar de (x1 , x2 ). Adem´s se sueleintroducir la siguiente notaci´n para
a
o
las derivadas primeras
∂u
∂u
:= p,
:= q,
(9.1.4)
∂x
∂y
nomenclatura a la que nos sumamos y con lo cual la edp m´s general de primer orden se
a
escribe en forma simb´lica as´
o
ı:
F (x, y, u, p, q) = 0.
(9.1.5)
Ejercicio 2: clasificar las siguientes edp de primer orden y reescribirlas en
t´rminos de las derivadas de la funci´n inc´gnita u(x,y):
e
o
o
a) x p + y q = 0.
b) x q 3 − y p = u.
c) (p + q + 1) u2 = 1.
d) (p2 + q 2 + 1) u2 = 1.
e) q + p2 = 0.
f ) x2 p + y 2 q = (x + y)u.
√
g) u2 p + u q = (x + y)u.
h) (y + ux) p − (x + yu) q = x2 − y 2 .
Ejercicio 3: seleccionar aquellas ecuaciones del Ejercicio 1 que sean de primer
orden en con dos variables independientes y reescribirlas en t´rminos de p y q.
e

9.2. El...