estudiante

21.32 La carga puntual q1=-5.0 nC está en el origen y la carga puntual q2=3 nC
está sobre el eje de las x en x = 3 cm. El punto P está en y=4 cm. a) Calcule los
campos eléctricos debidos a las dos cargas en P. b) Obtenga el campo eléctrico
resultante en P, expresado en forma de vectores unitarios.

r
r2 = x 2 + y 2 = 0.05 m
r
r1 = y = 0.04 m
P
E1

r
r2

r
r1
q1

r
E1 =

ˆr1

ˆ
r2 +

r
r1 0.04 ˆ ˆ
j
ˆ
r1 = r =
= j
r1
0.04
r
ˆ
r2 − 0.03i + 0.04 ˆ
j
ˆ
ˆ
r2 = r =
= −0.6i + 0.8 ˆ
j
r2
0.05

q2

q1
(−5 10 −9 C ) ˆ
ˆ
ˆ
j
j = −2.8110 4
r1 = (8.9 109 m 2 / C 2 )
2
2
C
(0.04 m)
4πε 0 r1
1

E2

Ep

r
r1

E1

-

r
r2
ˆ
r2 +

ˆ
r1

q1

r
E2 =

q2

q2
(3 10 −9 C )
ˆ
ˆ
r2 = (8.9 109 m 2 / C 2 )
j
(−0.6i +0.8 ˆ) =
2
2
4πε 0 r2
(0.05 m)
1

= (−6.48 103

C

ˆ
)i + (8.64 103

r r
E1 + E2 = (−6.48 103
Ex

C

C

j
)ˆ

ˆ
)i + (−2.81103

C
Ey

+ 8.64 10

3

C

)ˆ
j

2
EP = E x2 + E y

tan(ϕ ) =

Ey
Ex

CAMPO DE UNA LINEA CON CARGA UNIFORME
Una carga eléctrica Q está distribuida
uniformemente a lo largo de una línea de
longitud 2a, que yace sobre el eje“y”
entre y=a y y=-a. Halle el campo eléctrico
en el punto P situado sobre el eje “x” a una
distancia x del origen.

a
dQ

dy

r

y

α

P

Se divide la carga lineal en
segmentos infinitesimales, cada uno
de los cuales actúa como carga
puntual. Consideremos el elemento
dQ, de longitud dy.

x

-a

La densidad lineal de carga λ es:

λ=

Q
2a

La carga dQ en un segmento delongitud dy es:

dQ = λ dy =

Qdy
2a

r = x2 + y2
y
sin(α ) = =
r
x
cos(α ) = =
r

y
x2 + y2
x
x2 + y2

a

r = x2 + y2

dQ

dy

La magnitud del campo dE en P debido
al segmento dQ es:
dQ

r

y

α

P

x

-a

1

dE
dEy

y
sin(α ) = =
r

dEx

y
x2 + y 2

dQ
1 Qdy 1
=
=
dE =
2
2
4πε 0 r
4πε 0 2a r
1 Qdy
1
=
4πε 0 2a ( x 2 + y 2 )r2

x
x
=
r
x2 + y2
Representemos este campo en términos de sus componentes dEx y dEy:
cos(α ) =

dE x = dE cos(α ) =

dE y = dE sin(α ) =

Q

dy
4πε 0 2a ( x 2 + y 2 )

Q

dy
4πε 0 2a ( x 2 + y 2 )

x
x2 + y2

y
x2 + y2

=

=

Q

xdy
4πε 0 2a( x 2 + y 2 ) 3 / 2

Q

ydy
4πε 0 2a ( x 2 + y 2 ) 3 / 2

a

Para hallar las componentes Ex y Ey
del campototal, se integran estas
expresiones de y=-a hasta y=a.

dQ

dy

r

y

α

P

dEx

x

a

1 Qx
dy
Ex =
4πε 0 2a −∫a ( x 2 + y 2 ) 3 / 2

dE
dEy

Se integra en y, la
x
se
considera
como una constante

-a
a

a

dy
1
∫a ( x 2 + y 2 )3/ 2 = x 2
−

y
x2 + y 2

−a

1
= 2
x

−a

a

1
− 2
2
2
x
x +a

a

1 Qx
dy
1 Qx 2
Ex =
∫a ( x 2 + y2 )3/ 2 = 4πε 0 2a x 2
4πε 0 2a −

2
= 2
2
2
x
x +a

a
x +a
2

2

=

Q

a
x2 + a2

1

4πε 0 x x 2 + a 2

a

Si consideramos el segmento dQ’
en la parte negativa se ve que la
componente dEy es igual y opuesta,
así que todas las componentes en y
de todos los elementos se
cancelan.

dQ

dy

r

y

α

P

dEx

x

dE
dEy

dQ’
-a

Ya sabemos queEy = 0, efectivamente:

1

a

Q
ydy
Ey =
4πε 0 2a −∫a ( x 2 + y 2 )3 / 2
a

ydy
∫a ( x 2 + y 2 )3/ 2 =
−

−1
x2 + y2

a

=
−a

−1
x2 + a2

−

r
r
E y = 0 ⇒ E p = Ex
hacia la derecha

−1
x2 + a2

=0

En el límite x >> a la expresión del campo eléctrico se reduce a la expresión
del campo eléctrico de una carga puntual:

1

1
Ex =
≈
2
2
4πε 0 x ( x + a) 4πε 0 x 2
Q

Q

x >> a

LINEAS DE CAMPO ELECTRICO
El campo eléctrico no se puede ver directamente. Las líneas de campo
eléctrico pueden ser de gran ayuda para visualizar los campos eléctricos.

Una línea de campo eléctrico es una curva imaginaria trazada a través de
una región del espacio, de modo tal que su tangente en cualquier punto
tenga la dirección del vector campo...