Estudiante

USE EL METODO DE RUNGE-KUTTA CON h=0.1 PARA OBTENER UNA APROXIMACIÓN, CON CUATRO DECIMALES, AL VALOR INDICADO EN: y'=x2+y2 , y0=1 ; y0.5=?

SOLUCION:
Por medio del método de Runge-Kutta de cuarto orden debemos hallar y0.5
La formula a utilizar es:

yn+1 = yn+ 16(k1+2k2+ 2k3+k4)

Los valores de k debemos hallarlos mediante las siguientes formulas:

k1=h.fxn , yn
k2=h.f(xn+ ½ h, yn+½k1)
k3=h.f(xn+ ½ h , yn+½k2)
k4=h.f(xn+h , yn+k3)

Debemos encontrar el valor aproximado de x5=0.5
Observamos que tenemos h=0.1 , x0=0 , y0=1
Comenzamos a iterar con y0, tenemos:
y0+1= y0+ 16(k1+2k2+ 2k3+k4)
y1= y0+ 16(k1+2k2+ 2k3+k4)
De manera que se debe encontrar k1, k2, k3 , k4
Definimos entonces:
k1=h.fx0 , y0
k1=(0.1).f0 , 1
k1=(0.1)(0)2+ (1)2
k1=0.1k2=h.f(x0+ ½ h , y0+½k1)
k2=(0.1).f(0+ ½ (0.1) , 1+½(0.1))
k2=(0.1).f(0.05 , 1.05)
k2=(0.1)(0.05)2+ (1.05)2
k2=0.1105

k3=h.f(x0+ ½ h , y0+½k2)
k3=(0.1).f(0+ ½ (0.1) , 1+½(0.1105))
k3=(0.1).f(0.05 , 1.05525)
k3=(0.1)(0.05)2+ (1.05525)2
k3=0.1116052563

k4=h.f(x0+ h , y0+k3)
k4=(0.1).f(0+ 0.1 , 1+0.1116052563)
k4=(0.1).f(0.1 , 1.1116052563)
k4=(0.1)(0.1)2+ (1.1116052563)2k4=0.1245666246

y1= 1+ 16(0.1+2(0.1105)+ 2(0.1116052563)+0.1245666246)
y1=1.111462856

Tenemos el valor de y1, hacemos y1+1= y1+ 16(k1+2k2+ 2k3+k4)
y2= y1+ 16(k1+2k2+ 2k3+k4)

Con x1= x0+h=0.1 , y1=1.1115 , h=0.1

Buscamos el valor de k1, k2, k3 , k4 respectivamente

k1=h.fx1 , y1
k1=(0.1).f0.1 , 1.1115
k1=(0.1)(0.1)2+ (1.1115)2
k1=0.124543225

k2=h.f(x1+ ½ h , y1+½k1)k2=(0.1).f(0.1+ ½ (0.1) , 1.1115+½(0.124543225))
k2=(0.1).f(0.15 , 1.173771613)
k2=(0.1)(0.15)2+ (1.173771613)2
k2=0.1400239798

k3=h.f(x1+ ½ h , y1+½k2)
k3=(0.1).f(0.1+ ½ (0.1) , 1.1115+½(0.1400239799))
k3=(0.1).f(0.15 , 1.18151199)
k3=(0.1)(0.15)2+ (1.18151199)2
k3=0.1418470582

k4=h.f(x1+ h , y1+k3)
k4=(0.1).f(0.1+ 0.1 , 1.1115+0.1418470583)
k4=(0.1).f(0.2 , 1.253347058)k4=(0.1)(0.2)2+ (1.253347058)2
k4=0.1610878848

y2= 1+ 16(0.124543225+2(0.1400239798)+ 2(0.1418470582)+0.1610878848)
y2=1.253062198

Calculamos y2+1= y3= y2+ 16(k1+2k2+ 2k3+k4)
Teniendo x2= x1+h=x0+2h= 0.2 , y2=1.2531 , h=0.1
Buscamos el valor de k1, k2, k3 , k4 respectivamente

k1=h.fx2 , y2
k1=(0.1).f0.2 , 1.2531
k1=(0.1)(0.2)2+ (1.2531)2
k1=0.161025961
k2=h.f(x2+ ½ h ,y2+½k1)
k2=(0.1).f(0.2+ ½ (0.1) , 1.2531+½(0.161025961))
k2=(0.1).f(0.25 , 1.333612981)
k2=(0.1)(0.25)2+ (1.333612981)2
k2=0.1841023582

k3=h.f(x2+ ½ h , y2+½k2)
k3=(0.1).f(0.2+ ½ (0.1) , 1.2531+½(0.1841023583))
k3=(0.1).f(0.25 , 1.345151179)
k3=(0.1)(0.25)2+ (1.345151179)2
k3=0.1871931695

k4=h.f(x2+ h , y2+k3)
k4=(0.1).f(0.2+ 0.1 , 1.2531+0.1871931695)
k4=(0.1).f(0.3 ,1.440293169)
k4=(0.1)(0.3)2+ (1.440293169)2
k4=0.2164444414

y3=1.2531+16(0.161025961+20.1841023582+20.1871931695+0.214444414)
y3=1.43977691
Se repite el procedimiento para encontrar
y3+1= y4= y3+ 16(k1+2k2+ 2k3+k4)
Con h=0.1 , x3= x2+h=x0+3h= 0.3 , y3=1.4398
Debemos hallar el valor de k1, k2, k3 , k4

k1=h.fx3 , y3
k1=(0.1).f0.3 , 1.4398
k1=(0.1)(0.3)2+ (1.4398)2
k1=0.216302404k2=h.f(x3+ ½ h , y3+½k1)
k2=(0.1).f(0.3+ ½ (0.1) , 1.4398+½(0.216302404))
k2=(0.1).f(0.35 , 1.547951202)
k2=(0.1)(0.35)2+ (1.547951202)2
k2=0.2518652924

k3=h.f(x3+ ½ h , y3+½k2)
k3=(0.1).f(0.3+ ½ (0.1) , 1.4398+½(0.2518652924))
k3=(0.1).f(0.35 , 1.565732646)
k3=(0.1)(0.35)2+ (1.565732646)2
k3=0.2574018719

k4=h.f(x3+ h , y3+k3)
k4=(0.1).f(0.3+ 0.1 , 1.4398+0.2574018719)k4=(0.1).f(0.4 , 1.697201872)
k4=(0.1)(0.4)2+ (1.697201872)2
k4=0.3040494194
y4=1.4398+16(0.216302404+20.2518652924+20.2574018719+0.3040494194)
y4=1.696281025

Continuamos iterando y calculamos y5 de la siguiente manera:
y4+1= y5= y4+ 16(k1+2k2+ 2k3+k4)
Con h=0.1 , x4= x3+h=x0+4h= 0.4 , y4=1.6963 ,
Buscamos el valor de k1, k2, k3 , k4 respectivamente

k1=h.fx4 , y4...