Estudiante

Universidad de Oriente
Núcleo Anaco
Asignatura: Matemática I
Sección 13















Aplicación de Derivadas









Profesora: Bachiller:
Anny Marcano Larez, Jesús CI 23.546.830
Pavan, Gabriel CI 20.411.067


Anaco, marzo de 2013

Teorema de Rolle

El teorema de Rolle dice lo siguiente:
Si:

f es una función continuadefinida en un intervalo cerrado [a, b]
f es derivable sobre el intervalo abierto (a, b)


Entonces: existe al menos un punto c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f'(c) = 0.



En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendráluego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.

Ejemplos:

1) Sea f(x) = x4 - 2x2. Demuestra que f satisface la hipótesis del teorema de Rolle en elintervalo [-2,2] y halla todos los números c en el intervalo abierto (-2,2) tal que f’(c) = 0.

Solución: Como f es una función poli nómica entonces es continua y derivable para todo valor x. Por tanto, es continua en [-2,2] y derivable en el intervalo (-2,2). Además,

f(-2) = (-2)4 - 2(-2)2 = 16 - 8 = 8 y, f(2) = (2)4 - 2(2)2 = 16 - 8 = 8. Por lo tanto, f(-2) = f(2) = 8.

Luego, f’(x)= 4x3 - 4x

= 4x(x2 - 1)

= 4x(x + 1)(x - 1)

Por lo tanto, c = 0, -1, 1. Así que, en el intervalo abierto (-2,2) la derivada es cero en esos tres puntos, esto es: f’(0) = 0, f’(-1) = 0 y f’(1) = 0. Gráficamente se puede observar que en los puntos (0,0), (-1,-1) y (1,-1) la recta tangente es horizontal.



2) ¿Se podrá aplicar el teorema de Rolle en f(x) = abs(x) en el intervalo [-2,2]?Solución: No, porque la función no es derivable en x = 0. No sostiene toda la hipótesis del teorema, por tanto, no se satisface la conclusión.

3) Determina el intervalo para f(x) = x2 - 3x + 2 en donde se puede aplicar el teorema de Rolle. Halla el valor c en el intervalo tal que f’(c) = 0.

Solución: Como f es continua y derivable por ser una función polinómica, entonces el teorema deRolle garantiza la existencia de al menos un valor c. Para hallar el intervalo se iguala la función a cero y se factoriza. Esto es:

x2 - 3x + 2 = 0

(x - 2)(x - 1) = 0

x - 2 = 0, x - 1 = 0

x = 2 , x = 1

Por tanto, el intervalo es (1,2).

Luego, f’(x) = 2x - 3

2x - 3 = 0

2x = 3

x = 1.5

Así que c = 1.5.

Teorema del valor medio

Si:

f es una función continua definidaen un intervalo [a, b]
f es derivable sobre el intervalo (a, b)

Entonces: existe al menos un punto c en el intervalo (a, b) tal que:



Es decir que existe un punto en donde la tangente es paralela a la cuerda AB.

Su prueba es sencilla, pues utiliza el teorema precedente.

Sea p la pendiente de la cuerda: p = (f(b) - f(a)) / (b - a), y se define la función g(x) = f(x) - p·x. Entoncesg(b) - g(a) = f(b) - p·b - (f(a) - p·a) = f(b) - f(a) - p(b - a) = f(b) - f(a) -(f(b) - f(a)) = 0, y g como f, es continua sobre [a, b] y derivable en su interior. Según el teorema anterior, existe un c en (a, b) tal que g '(c) = 0; pero esto se escribe f ' (c) = p.

Este teorema se escribe también, con las mismas hipótesis: f(b) = f(a) + f '(c)(b-a) lo que deja entrever el teorema deTaylor-Young:
f(b) = f(a) + (b-a)f '(a) + ... + (b-a)n/n! · f(n)(c), con f n veces derivable sobre (a, b).

Ejemplo: Si f(x) = x3 - 8x - 5, demuestra que f satisface la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [1,4] y halla un número c en el intervalo abierto (1,4) que satisfaga la conclusión del teorema.

Solución: Como f es polinómica, es continua y derivable en todos los números...