Estudiante

VALORES Y VECTORES PROPIOS CARACTERÍSTICOS






INDICE


1.- Valores y vectores característicos

2. - Polinomio característico, espacios propios

3. - Matriz diagonal

4. - Diagonalización ortogonal

5.- Secciones cónicas y superficies cuadráticas

6.- Funciones matriciales

7.- Forma canónica de Jordan

8.- Teorema de Cayley – Hamilton

9.-Algoritmo de D. K. Fadeva


INTRODUCIÓN

Observemos a los valores y vectores propios, estos son propiedades muy importantes de las matrices cuadradas de tamaño nxn y tienen aplicaciones en el cálculo y la estadística.
En este tema específico se estudiarán los métodos manuales de cálculo de valores y vectores propios, y posteriormente una de sus aplicaciones, qué consiste en la solución desistemas lineales de ecuaciones diferenciales.
En este capítulo pretendemos estudiar los métodos numéricos más importantes para calcular los valores y vectores propios de una matriz cualquiera. Es decir, dada una matriz A L(Rn), queremos hallar las C para las cuales x Cn con x" =0 tales que Ax = x, donde es un valor propio y x es el vector propio asociado a este valor propio.

Como los valorespropios de una matriz son, también, las raíces de su polinomio característico p() = det(A - I), se podrá reducir el problema a calcular los ceros de este polinomio por alguno de los métodos ya vistos; pero, en general el calculo del polinomio característico de una matriz es excesivamente costoso y, además, pequeños errores en los coeficientes pueden dar graves errores en sus raíces.

Estetipos de resolución solamente se utilizara en matrices muy sencillas como, por ejemplo, las tridiagonales y simétricas. Para matrices cuales quiera tenemos, básicamente, dos tipos de métodos:



Los métodos de tipo puramente iterativo, a través de los cuales, utilizando de forma reiterada un mismo tipo de transformación a la matriz inicial, se obtiene una sucesión de la cual se calculan uno o másvalores propios. El más conocido es el método de la potencia, que, asociado con métodos de deacion, nos permite ir hallando los distintos valores propios de la matriz.
Los métodos basados en la factorización de alguna manera particular de la matriz A, para obtener iterativamente una sucesión de matrices con los mismos valores propios que converge a una matriz triangular superior. Como veremos,estos algoritmos no se aplican directamente sobre la matriz inicial, sino que previamente se transforma la matriz a una forma reducida: Hessenberg superior, o tridiagonal si la matriz inicial es simétrica.
El cálculo de valores y vectores propios aparece, por ejemplo, en algunos problemas de mecánica, en las vibraciones de estructuras, en la optimización y estudio de la estabilidad de otros métodosnuméricos iterativos, etc.













1.- Valores y vectores característicos :

1.1 Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada
En álgebra lineal, los vectores propios, auto vectores o eligen vectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con loque no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, auto valor, valor característico o eligen valor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, auto espacio o eligen espacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
Las transformaciones lineales del espacio—como la rotación, lareflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse otras transformaciones—pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.
Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no...