Etudiant

41
UNIDAD 3
DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
Propósitos: Continuar el estudio del concepto de derivada a través del manejo de
su representación algebraica buscando que el alumno reconozca a las reglas de
derivadas como un camino más eficaz de obtener la derivada de una función.
En la Unidad siguiente, pretendemos que:
Obtengas la derivada de una función polinomial de 1°, 2do ó 3er gradousando la
definición
( ) ( )
´( )
x a
f x f a
f x lim
x a
Identifiques el patrón de comportamiento de las derivadas obtenidas con el límite
del cociente.
Calcules la derivada de funciones algebraicas usando las reglas de derivación.
Reconozcas la jerarquía de las operaciones involucradas en la regla de
correspondencia de una función para aplicar correctamente las reglas de
derivación.Identifiques las relaciones existentes entre la gráfica de una función y la gráfica
de su derivada.
Obtengas la ecuación de la recta tangente en un punto de la gráfica de una
función.
Obtengas la velocidad instantánea como la derivada de la función posi ción y la
aceleración como la derivada de la velocidad.
Des significado a la derivada de una función en el contexto de un problema.INTRODUCCIÓN.
Significado Intuitivo Del Concepto De Límite.
En esta sección iniciaremos nuestro estudio de las derivadas algebraicas a través
de su definición que se dio en la unidad 2, para poder calcular estas derivadas
requerimos un repaso del cálculo de límites de funciones algebraicas así como de
su álgebra que requieren.
La idea del método del límite es fundamental en el cálculo y es unaidea
relativamente simple, pero no es una idea aislada y equivale a lo siguiente. Para
determinar el valor exacto de una cierta magnitud determinamos primero, no la
magnitud en sí, sino una aproximación de ella. Sin embargo, no hacemos una
única aproximación sino una serie de ellas, cada una de las cuales es más precisa
que la anterior (un proceso infinito). Del examen de esta serie deaproximaciones
determinamos unívocamente el valor exacto de la magnitud. Por este método, que
es en esencia profundamente dialéctico, obtenemos una constante fija como
resultado de un proceso o movimiento.
42
Ejemplo 1. En el problema de la pelota en la unidad 2, se quiere calcular la
velocidad instantánea a los 3 segundos, en este ejemplo debemos calcular el
límite siguiente:
2
3 3
( ) (3) 4.940 75.9
(3) ´(3)
t 3 t 3
s t s t t
v s lim lim
t t
En este caso la función es
2 4.9 40 75.9
( )
3
t t
f t
t
observa que la función
no esta definida para t 3 (¿por qué?), es por está razón que nos debemos
aproximar a 3 y así conjeturar su límite, los valores de f (t) cuando t se aproxima
por la izquierda al número 3, se resumen en la tabla siguiente.
En este caso decimos que:
2
33
( ) (3) 4.9 40 75.9
(3) ´(3) 10.6
t 3 t 3
s t s t t m
v s lim lim
t t s
Definición intuitiva de límite.
Cuando escribimos lim f x L
x a
( ) se lee ”el límite de f (x) , cuando x tiende al
número a , es igual a L” y significa que f (x) puede acercarse arbitrariamente a L
(si la distancia f (x) L es tan pequeña, como queramos) siempre que x se elija
lo suficientemente cercano alnúmero a pero no igual al número a (si x a es
pequeña también).
Ilustraremos el proceso límite con el esquema siguiente:
t 2.5 2.9 2.99 2.999 2.9999 2.99999
f (t) 13.05 11.09 10.649 10.6049 10.60049 10.600049
f
x
a
L
x
x a
f (x)
f (x) L
43
Aunque no es complicado tomar valores cada vez más cercanos al número
en donde queremos calcular el límite, el método de aproximaciones es largo, poresa razón se buscan técnicas las cuales faciliten este cálculo, pero, sin dejar de
pensar que el cálculo de límites es una aproximación de un proceso infinito
.
Con este fin iniciaremos calculando los límites más sencillos, no es difícil
ver que
x a
limc c y
x a
limx a ya que la distancia de sus imágenes es tan pequeña
como se desee siempre y cuando la distancia x a también lo sea,...