Euler

´ METODO DE EULER 1. Fundamento del M´todo e El objetivo es desarrollar un algoritmo num´rico para resolver el problema de valores iniciales e y (x) = ϕ(x, y), y(a) = ya ; x ∈ [a, b] (1)

siendo ϕ(x, y) una funci´n acotada, continua en la variable x y lipschitziana en la variable y en el dominio [a, b]. o Consid´rese en principio el domino [a, b] discretizado en n + 1 puntos equiespaciados: exi = x0 + ih, siendo el espaciado h h= i = 0, n; b−a n x0 = a (2)

(3)

El punto de partida lo constituye el desarrollo en Serie de Taylor de la funci´n y(x) en el punto xi+1 de la o discretizaci´n del dominio o y(xi+1 ) = y(xi ) + y (xi )(xi+1 − xi ) + esto es, dado que xi+1 = xi + h y (xi ) (xi+1 − xi )2 + . . . 2! (4)

y(xi+1 ) = y(xi ) + y (xi )h + Θ(h2 )

(5)

donde Θ(h2 ) denota losrestantes t´rminos del desarrollo en serie que dependen del factor h2 y/o de potencias superiores e de h2 . Si en esta expresi´n se despeja la derivada primera: o y (xi ) = y restando en ambos miembros ϕ(xi , y(xi )) resulta y (xi ) − ϕ(xi , y(xi )) = y(xi+1 ) − y(xi ) − ϕ(xi , y(xi )) − Θ(h). h (7) y(xi+1 ) − y(xi ) − Θ(h) h (6)

Si a continuaci´n se impone que se satisfaga la ecuaci´ndiferencial en cada punto xi , esto es, o o y (xi ) − ϕ(xi , y(xi )) = 0, resulta que debe satisfacerse y(xi+1 ) − y(xi ) − ϕ(xi , y(xi )) − Θ(h) = 0, h i = 1, n. (9) i = 1, n (8)

El t´rmino −Θ(h) es el “Error de Truncamiento Local del Algoritmo” y se denota como τi (h). A la vista e de la dependencia del orden con h podemos afirmar que el M´todo de Euler es de primer orden. e La expresi´n (9) esequivalente a o y(xi+1 ) = y(xi ) + hϕ(xi , y(xi )) + hτi (h), i = 0, n. (10)

El algoritmo del M´todo de Euler consiste en obtener una aproximaci´n a la soluci´n a la ecuaci´n (10) al e o o o considerar τi (h) = 0, resultando

yi+1 = yi + hϕ(xi , yi ),

i = 0, n;

y0 = ya

(11)

2. Consistencia del M´todo e El M´todo de Euler es consistente ya que, cuando el tama˜o de la discretizaci´n htiende a 0, el error local de e n o truncamiento (τi (h) = −Θ(h)) tambi´n tiende a cero, es decir, e τi (h) → 0 cuando h → 0, ∀i = 0, n. (12)

3. Convergencia del M´todo e Vamos a analizar el “Error Global de Truncamiento” o “Error Discretizaci´n” (eT ), esto es la diferencia entre la o i soluci´n anal´ o ıtica y la soluci´n aproximada que proporciona el algoritmo de Euler dado por (11). oDenotaremos por zi al error de truncamiento Si se restan las expresiones (10) y (11) obtenemos zi+1 = zi + h(ϕ(xi , y(xi )) − ϕ(xi , yi )) + hτi (h), Dado que h > 0, si tomamos valores absolutos en los dos miembros, resulta |zi+1 | = |zi + h(ϕ(xi , y(xi )) − ϕ(xi , yi )) + hτi (h)| ≤ |zi | + h|ϕ(xi , y(xi )) − ϕ(xi , yi )| + h|τi (h)|, Dado que la funci´n ϕ(x, y) es, por hip´tesis, lipschitziana en y,es decir o o ∃k > 0 tal que |ϕ(xi , y(xi )) − ϕ(xi , yi )| ≤ k|y(xi ) − yi | = k|zi |, entonces (15) puede escribirse como |zi+1 | ≤ (1 + hk)|zi | + h|τi (h)|, i = 0, n. (17) ∀i, (16) i = 0, n. (15) i = 0, n. (14)

eT i

como (13)

eT i

≡ zi = y(xi ) − yi

Denominemos τ (h) al mayor de los errores de truncamiento locales, esto es τ (h) = max|τi (h)|, i = 0, n. (18)

Si la igualdad(17) se aplica de forma recursiva para los valores de i, i − 1, y as´ hasta 0 se obtiene ı |zi+1 | ≤ (1 + hk)|zi | + hτ (h) ≤ (1 + hk)2 |zi−1 | + (1 + hk)hτ (h) + hτ (h) ... ≤ (1 + hk)i+1 |z0 | + (1 + (1 + hk) + . . . + (1 + hk)i )hτ (h) Por lo tanto: |zi+1 | ≤ (1 + hk)i+1 |z0 | + ≤ (1 + hk)i+1 |z0 | + ≤ (1 + hk)i+1 1 − (1 + hk)i+1 hτ (h) 1 − (1 + hk) (20) (19)

(1 + hk)i+1 τ (h) k τ (h) |z0 | + kPor otra parte, si tenemos en cuenta que el error inicial (z0 = y(x0 ) − y0 ) es nulo ya que y(x0 ) = ya y y0 = ya , y que se verifica la desigualdad 0 ≤ (1 + ξ)n ≤ enξ , ∀ξ ≥ 0, n ≥ 0, (21) entonces la cota superior del error de truncamiento global del m´todo de Euler es e |zi+1 | ≤ τ (h) (i+1)hk e k (22)

A la vista del resultado anterior, es obvio que el error global de truncamiento del...